Самарский государственный аэрокосмический
университет имени академика С.П. Королева
Кафедра «Техническая кибернетика»
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Курс лекций
для студентов, обучающихся по направлению
010400 Прикладная математика и информатика
Часть 3
Случайные векторы
Лектор: к.ф.-м.н., доцент
Коломиец Э.И.
САМАРА 2010
3.1. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
Часто в вероятностных моделях случайных явлений приходится рассматривать сразу несколько случайных величин, причем изучение каждой случайной величины отдельно от других приводит к недопустимому упрощению модели явления. Математической моделью таких случайных явлений является понятие случайного вектора.
Определение.
Совокупность случайных величин
,
определенных на одном и том же вероятностном
пространстве
,
значения которых совместно описывают
результат некоторого случайного
эксперимента, называется
-мерным
случайным
вектором
(многомерной случайной величиной или
системой случайных величин) и обозначается
.
При этом сами случайные величины
,
называют координатами
(компонентами, составляющими) случайного
вектора
.
Как и в одномерном
случае, исчерпывающей вероятностной
характеристикой случайного вектора
является его функция распределения.
Рассмотрим вначале случай двумерного
случайного вектора
,
как наиболее часто встречающийся в
практических приложениях, а потом
полученные результаты обобщим на случай
многомерный.
Двумерный случайный
вектор обычно обозначают
(без введения индексов).
Определение.
Функцией
распределения случайного вектора
называется функция
двух действительных переменных
и
,
определяемая при каждом
равенством:
.
(3.1)
Функцию распределения
случайного вектора
называют также двумерной функцией
распределения или совместной функцией
распределения случайных величин
и
.
Геометрически
функция распределения
представляет собой вероятность попадания
случайной точки
в квадрант с вершиной в точке
.
Из определения
(3.1) следует, что функция распределения
случайного вектора
определена
на всей плоскости
.
Действительно,
множество
при любом
по определению случайной величины
.
Множество
при любом
по определению случайной величины
.
Поэтому произведение этих множеств
при любых
по определению
-алгебры
.
Свойства двумерной функции распределения
2F0).
для любых
.
(Свойство очевидно, так как функция распределения - вероятность).
2F1).
Функция распределения
является функцией неубывающей по каждому
из своих аргументов.
▲ Когда один из аргументов или фиксирован, доказательство свойства 2F1) полностью аналогично доказательству свойства F1) в одномерном случае ■.
2F2).
;
,
.
где
и
- одномерные функции распределения
случайных величин
и
соответственно.
▲ В соответствии со свойствами вероятности
;
;
;
;
;
В силу аксиомы нормированности Р2)
Строгое доказательство свойства 2F2), как и в одномерном случае, основано на использовании аксиомы непрерывности Р4) ■.
Замечание.
Смысл равенств
,
состоит в том, что по функции распределения
двумерного случайного вектора
всегда
можно найти одномерные (маргинальные)
функции распределения его координат
и
.
Обратное без дополнительной информации
неверно.
2F3). Функция распределения является функцией непрерывной слева по каждому из своих аргументов.
▲ Когда один из аргументов или фиксирован, доказательство свойства 2F3) полностью аналогично доказательству свойства F3) в одномерном случае ■.
2F4).
Вероятность попадания случайного
вектора
в прямоугольник
со сторонами, параллельными осям
координат, определяется по формуле:
▲ Обозначим
;
;
;
.
Очевидно, что
.
При этом события
и
являются несовместными, а
.
Поэтому по теореме сложения вероятностей
получаем:
.
Осталось учесть,
что
,
,
,
■.
Замечание. Как отмечалось ранее, свойства F1), F2) и F3) полностью описывают класс одномерных функций распределения. В двумерном случае это уже не так. Наряду с выполнением свойств 2F1), 2F2) и 2F3) для этого необходимо еще выполнение свойства 2F4) (подробности см. в учебнике Боровкова А.А. «Теория вероятностей»).
Замечание.
Аналогично одномерному случаю вводится
понятие борелевской
-алгебры
на плоскости
как минимальной
-алгебры,
содержащей все прямоугольники вида
со сторонами параллельными осям
координат. Тогда свойство 2F4)
совместно с теоремой о продолжении меры
позволяет считать, что двумерная функция
распределения
полностью определяет вероятность
попадания случайного вектора
в любое борелевское множество
(хотя явного аналитического для
через функцию распределения
при этом может и не быть).
Аналогичными являются определение и свойства многомерной функции распределения.
Определение.
Функция
действительных переменных, определяемая
для любого
равенством
,
называется функцией
распределения
случайного вектора
или многомерной (
-мерной)
функцией распределения или совместной
функцией распределения случайных
величин
.
Свойства многомерной функции распределения
nF0).
для любых
.
nF1).
является неубывающей функцией по каждому
из своих аргументов.
nF2).
,
если хотя бы один из аргументов
;
по функции
распределения
случайного вектора
можно найти функцию распределения любой
совокупности
из
его координат, для этого следует у
функции распределения
положить аргументы
для
(свойство согласованности);
.
nF3). является непрерывной слева функцией по каждому из своих аргументов.
Многомерный аналог свойства 2F4) двумерной функции распределения приводить не будем из-за необходимости введения разностных операторов и его громоздкой записи (подробности см. учебник Ширяева А.Н. «Вероятность»).
В приложениях, как правило, имеют дело со случайными векторами двух типов: дискретными и непрерывными. В каждом из этих случаев существуют более удобные, чем функция распределения, способы вероятностной характеристики случайных векторов.