2.4. Другие формы задания логических функций

Левая часть таблицы истинности постоянна, поэтому функцию можно задать вектором (столбцом) ее значений или номерами единичных или/и нулевых наборов. Единичные наборы – это наборы, на которых функция имеет значение 1. Нулевые наборы – это наборы, на которых функция равна 0. Например, на основании табл. 12 мажоритарную функцию можно задать так:

1. 00010111 (первая цифра соответствует значению функции при наборе 000).

2. единичные наборы: 3, 5, 6, 7.

3. нулевые наборы: 0, 1, 2, 4.

частично определенные функции задаются перечислением единичных и нулевых наборов. Например:

Единичные наборы: 1, 2, 4, 6.

Нулевые наборы: 3, 5.

На остальных наборах (0, 7) функция не определена.

К другим формам задания можно отнести также следующие разновидности графического представления логических функций:

– диаграммы Эйлера–Венна,

– отображения булевой функции n переменных на n–мерный куб,

– диаграммы двоичного решения,

– представление логической функции в виде графика соответствия,

– временные диаграммы переменных и функции.

Рассмотрим кратко эти формы задания логических функций.

Диаграммы Эйлера–Венна заимствованы у теории множеств. С их помощью удобно демонстрировать операции, аксиомы и законы булевой алгебры, но не следует использовать для построения доказательств тождеств, поскольку на них можно показать далеко не все. Диаграммы Эйлера–Венна удобны только при числе переменных не более трех – четырех.

На рис. 4 приведены диаграммы Эйлера–Венна для констант 0, 1 и функций И, ИЛИ, НЕ, где область, ограниченная кружком, соответствует одной переменной.

На рис. 5 приведена диаграмма Эйлера–Венна для мажоритарной функции

.

Рисунок 4 – диаграммы Эйлера–Венна констант 0, 1 и функций И, ИЛИ, НЕ

Рисунок 5 – диаграмма Эйлера–Венна для мажоритарной функции

Другое геометрическое представление логической функции получается путем отображения логической функции n переменных на n–мерный куб.

Для отображения логической функции n переменных на n–куб устанавливается соответствие между термами СДНФ и вершинами n–куба. Вершины (наборы), на которых функция принимает единичное значение, выделяются жирными точками. На рис. 6 представлена в виде куба мажоритарная функция

.

Такое представление удобно только для n ≤ 3. Для n = 4 оно уже довольно сложное, поэтому для n ≥ 4 используют аналитическое представление n–кубов.

Рисунок 6 – куб мажоритарной функции

Третье геометрическое представление логических функций – это диаграмма двоичного решения, являющаяся разновидностью ориентированного графа, обеспечивающая полное, краткое и простое описание сложных логических функций. На рис. 7 приведена диаграмма двоичного решения функции

.

Рисунок 7 – диаграмма двоичного решения функции .

На рис. 7 прямоугольники с цифрами 0 и 1 соответствуют окончательным значениям функции. Узлы, обозначенные кружками, соответствуют переменным, от которых зависит функция, а цифры у ветвей – значениям этих переменных.

Четвертое графическое представление логической функции – это представление функции графиком соответствия. Такое представление было рассмотрено в п. 1.4.1.

Пятое графическое представление логической функции – это временные диаграммы переменных и функции.

Покажем построение временной диаграммы на примере функции, заданной табл. 5. (Для удобства изложения приведем табл. 5 повторно с указанием номеров наборов.)

Таблица 5
№	a	b	f6
0	0	0	0
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	0

1. Изображаем n + 1 ось времени, где n – число переменных, и обозначаем их именами переменных и функции (в нашем случае n = 2 см. рис. 8).

2. Вводим фиктивное дискретное время и обозначаем интервалы времени номерами наборов в таблице истинности (для рассматриваемого примера номера такие 0, 1, 2, 3).

3. Назначаем уровни сигналов “0” – низкий уровень, “1” – высокий уровень.

4. Используя таблицу истинности, строим временные диаграммы переменных и функции (см. рис. 8).

На интервале 0: a = 0, b = 0, f = 0;

На интервале 1: a = 1, b = 0, f = 1;

На интервале 2: a = 0, b = 1, f = 1;

На интервале 3: a = 1, b = 1, f = 0;

На интервале 0: a = 0, b = 0, f = 0.

Далее все повторяется.

Рисунок 8 – временные диаграммы функции

При чтении (анализе) временных диаграмм последовательно для каждого интервала определяем значения входных переменных и функции и заносим эти значения в таблицу истинности.

Замечания: Во временных диаграммах реальных схем

– наборы входных переменных не обязательно появляются последовательно, как на построенной диаграмме;

– изменения значений входных переменных и функции происходят не одновременно из–за наличия задержек сигналов в элементах схемы, реализующей логическую функцию.