5. Является ли полной система функций? Образует ли она минимальный базис?

Дана система функций .

Решение:

Согласно теореме Поста–Яблонского набор логических функций является функционально полной системой, если хотя бы одна из функций:

• не сохраняет «0» f(0,0,…,0) ≠ 0;

• не сохраняет «1» f(1,1,…,1) ≠ 1;

• не является самодвойственной;

• не является монотонной;

• не является линейной.

Проверим:

1. Сохранение «0»

– сохраняет «0» (см. табл. 45),

– не сохраняет «0» (см. табл. 46).

2. Сохранение «1»

– не сохраняет «1» (см. табл. 45),

– сохраняет «1» (см. табл. 46).

3. Самодвойственность

Двойственная функция для равна . Так как , то не самодвойственная функция.

Таблица 45
№	x	y	ƒ1
0	0	0	0
1	0	1	0
2	1	0	1
3	1	1	0

Для функции двойственная функция равна . Поскольку , то, следовательно, и f₂ не самодвойственна.

4. Монотонность

Таблица 46
№	x	y	ƒ2
0	0	0	1
1	0	1	0
2	1	0	0
3	1	1	1

Функция не монотонна, так как не выполняется условие монотонности на наборах 2 и 3 (см. табл. 45).

Функция не монотонна, так как не выполняется условие монотонности на наборах 0 и 1, а также на наборах 0 и 2 (см. табл. 46).

5. Линейность

Для проверки этого свойства представим функции полиномами Жегалкина.

– не линейна,

– линейная функция.

Вывод: Система функций является функционально полной, так как все условия теоремы выполнены. Эта система также образует минимальный базис, поскольку ни одну функцию нельзя исключить из системы без потери полноты.

9. Список литературы

1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. – М.: Высшая школа, 2002. – 384 с.

2. Горбатов В. А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика. – М.: Наука, Физматгиз, 2000. – 544 с.

3. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2002. – 304 с.

4. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. Элементы дискретной математики: Учебник. – М.: ИНФРА–М, – Новосибирск: Издательство НГТУ, 2002. – 280 с.

5. Москинова Г. И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях: Учебное пособие. – М.: Логос, 2003. – 240 с.

6. Схемотехника электронных систем. Цифровые устройства / В.И. Бойко, А.Н. Гуржий, В.Я. Жуйков и др. – СПб.: БХВ–Петербург, 2004. –512 с.

Учебное издание

Федоров Валентин николаевич

Введение в булеву алгебру

Учебное пособие

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Подписано в печать

Формат 60x84 1/16

Объем 6,18 п.л. Тираж 100 экз. Заказ

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––