1.7. Вопросы для самоконтроля
Что такое «алгебра»? Что такое «булева алгебра»?
Каковы особенности логических переменных и функций?
Приведите аксиомы булевой алгебры.
Приведите логические функции одной переменной.
Приведите логические функции двух переменных.
Сколько может быть полностью определенных логических функций n переменных?
Что такое – вырожденная функция? Что такое – фиктивная переменная?
Приведите логические операции, используемые при формировании логических функций двух переменных (условные обозначения функций).
Приведите структуру таблицы истинности.
Как получается инверсная логическая функция?
Приведите пример использования приоритетов логических операций.
Приведите законы булевой алгебры: нуля и единицы, повторения, дополнительности, коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные.
Приведите законы поглощения, склеивания и де Моргана.
Покажите на примерах разложение логических функций по переменным.
Как доказываются тождества в булевой алгебре?
2. Формы задания логических функций
Наиболее часто употребляются следующие формы задания логических функций:
Словесная;
Табличная;
Формульная;
Схемная.
2.1. Словесная форма
Словесная форма дается в виде задания на проектирование некоторого устройства.
Пример: Создать устройство рис. 3, которое будет выдавать на выходе y сигнал, значения которого определяются по большинству значений входных сигналов a, b, c.
Рисунок 3 – Условное обозначение мажоритарного элемента
Такие
устройства содержат нечетное число
входов
3 и называются элементами голосования
или мажоритарными элементами, так как
реализуют они мажоритарную функцию,
обозначаемую иногда
y = a # b # c.
2.2. Табличная форма
Логические функции можно представить в виде двух типов таблиц:
– Таблиц истинности;
– Карт Карно (см. Раздел 4. минимизация логических функций).
Порядок получения таблицы истинности логической функции таков.
Сначала составляется заготовка таблицы, в которой размещаются все возможные наборы n переменных (входные наборы) с учетом их веса (номера), затем в нее проставляются значения логической функции по ее словесному описанию.
В рассматриваемом случае значение функции y будет 0, если большинство входных переменных имеют значение 0. Значение функции будет 1, если на входах больше 1. В результате получаем табл. 12.
Таблица 12 |
||||
№ |
с |
b |
a |
y |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
5 |
1 |
0 |
1 |
1 |
6 |
1 |
1 |
0 |
1 |
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2.3. Задание формулой
2.3.1. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
Введем обозначения: если во входном наборе а = 1, то будем писать «а», если в наборе а = 0, то пишем « ». Для других переменных аналогично.
Рассмотрим строки табл. 12, в которых функция y = 1.
Строка №3: y = 1, если a = 1 и b = 1, и c = 0.
Используя введенные обозначения переменных и заменив союз И символом конъюнкции, это условие для строки №3 можно записать так:
y
= 1, если входной набор равен
b
a
или просто
ba.
В строке
№5 y = 1 при входном
наборе c
a.
В строке №6 y = 1 при входном наборе cb .
В строке №7 y = 1 при входном наборе cba.
Итак, y = 1 при наборе ba, или при наборе c a, или при наборе cb , или при наборе cba, что можно записать, заменив союз ИЛИ символом дизъюнкции, так
y
=
ba
c
a
cb
cba
= 1.
Единицу обычно не пишут (но всегда подразумевают), поэтому окончательно получаем:
y = ba c a cb cba .
Каждый член этой суммы (дизъюнкции) есть произведение (конъюнкция) всех аргументов или их отрицаний и носит название минтерма или конституенты единицы, а полученная сумма называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) логической функции.
СДНФ для каждой логической функции единственна.
Понятия «минтерм» и «конституента единицы» будут пояснены в п. 2.3.4.
Полученная форма называется
совершенной, так как все конъюнкции содержат все переменные (с отрицанием или без отрицания), т.е. имеют максимальный ранг;
дизъюнктивной, потому что формула представляет собой дизъюнкцию конъюнкций;
нормальной, так как все конъюнкции являются элементарными.
Если в конъюнкцию входят только переменные или их отрицания, то конъюнкция называется элементарной. Число переменных в конъюнкции называется ее рангом. В нашем случае ранг конъюнкций равен 3.