1.1. Функции одной переменной

Как указывалось выше, логических функций одной переменной 4. Все они приведены в табл. 1.

Эти функции носят следующие названия

Таблица 1
a	f0	f1	f2	f3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

f₀ = 0 – константа 0;

f₁ = a – повторение а;

f₂ = – отрицание а;

f₃ = 1 – константа 1.

Здесь функции f₀ = 0 и f₃ = 1 не зависят от входной переменной. Такие функции называются вырожденными, а переменные, от которых функция не зависит, – фиктивными. Переменные, изменения которых приводят к изменению значений функции, называются существенными.

1.2. Функции двух переменных

Все возможные полностью определенные логические функции двух переменных представлены в табл. 2.

Таблица 2
№	a	b	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15
0	0	0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
2	1	0	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
3	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
Обозначение			0	↓	b←a		a←b						b	a→b	a	b→a		1

Здесь функции f₃, f₅, f₁₀, f₁₂ зависят только от одной переменной, следовательно, они являются вырожденными также как f₀ и f₁₅, которые не зависят ни от одной переменной.

Кроме операций, определенных сигнатурой, в булевой алгебре сегодня применяют и другие операции.

Операция это функция, все аргументы и значение которой принадлежат одному и тому же множеству. В булевой алгебре этим множеством является основное множество В = {0, 1}.

Вот обозначения операций, применяемых при формировании логических функций:

– отрицание – инверсия (НЕ), иногда обозначается апострофом, например, так ;

– конъюнкция (И), применяют и такие обозначения: &, · (точка). довольно часто конъюнкция никак не обозначается, например, ab. В дальнейшем, если это будет возможно, будем применять именно такой способ задания конъюнкции.

– дизъюнкция (ИЛИ), иногда обозначают дизъюнкцию символом +;

– стрелка Пирса (ИЛИ–НЕ);

 – штрих Шеффера (И–НЕ);

 – сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ);

– эквивалентность (другое обозначение этой операции ~ );

← – запрет (для f₄ – запрет a: если b = 0, то f₄ = a, если b = 1, то f₄ = 0);

→ – импликация (для f₁₁ – a влечет b: если а = 0, то f₁₁ = 1, если а = 1, то f₁₁ = b).

Анализируя табл. 2, можно заметить, что функции 0, 1, а, , b, аналогичны функциям одной переменной, функции a←b, b→a отличаются от функций b←а, a→b перестановкой переменных, поэтому рассмотрим восемь функций:

f₁ = a↓b – функция Пирса (функция Вебба, функция Дагера);

f₄ = a←b – запрет;

f₆ = ab – сложение по модулю 2;

f₇ = ab – штрих Шеффера;

f₈ = a b – конъюнкция;

f₉ = – эквивалентность;

f₁₁ = a→b – импликация;

f₁₄ = a b – дизъюнкция.

Сравнение функций f₁ и f₁₄, f₄ и f₁₁, f₆ и f₉, f₇ и f₈ по их значениям в табл. 2 показывает, что

f₁ = , f₄ = , , f₇ = .

Надчеркиванием обозначены инверсные функции (см. п. 1.4.2).

Из этого сравнения видно, что имеется только четыре оригинальных функции f₁₄, f₁₁, f₆, f₇. Однако мы рассмотрим свойства всех восьми функций. Для удобства проверки свойств приведем также таблицы этих функций, называемые таблицами истинности (табл. 3 ... 10).

Таблицы истинности состоят из двух частей: в левой части располагаются входные наборы в порядке возрастания их номеров (в таблицах малых размеров номера наборов обычно не показывают), в правой части – значения функции.

Таблица 3
a	b	f1
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

1.3. Свойства функций

1. f₁ – стрелка Пирса (или–не)

f₁ = ↓ = .

Свойства:

↓0 = ; ↓ = ;

↓1 = 0; ↓ = 0.

2. Таблица 4
   a	b	f4
   0	0	0
   0	1	0
   1	0	1
   1	1	0

   f₄ – запрет a

f₄ = ← = .

Свойства: 0← = 0;

←0 = ; ← = ;

←1 = 0; 1← = ;

← = 0; ← = .

3. Таблица 5
   a	b	f6
   0	0	0
   0	1	1
   1	0	1
   1	1	0

   f₆ – сложение по модулю 2

f₆ = .

Свойства:

0 = ; = 0;

1 = ; = 1.

3. Таблица 6
   a	b	f7
   0	0	1
   0	1	1
   1	0	1
   1	1	0

   f₇ – штрих Шеффера (и–не)

f₇ = | .

Свойства:

|0 = 1; | = ;

|1 = ; | = 1.

Таблица 7
a	b	f8
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

3. f₈ – конъюнкция (И)

f₈ = = & = .

Свойства:

0 = 0; = ;

1 = ; = 0.

3. f₉ – эквивалентность (равнозначность)

Таблица 8
a	b	f9
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

f₉ = ↔ = ~ = .

Свойства:

↔0 = ; ↔1 = ;

↔ =1; ↔ = 0.

3. f₁₁ – импликация

Таблица 9
a	b	f11
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

f₁₁ = a→b = .

Свойства: a → a = 1;

a →0 = ; → a = a;

a →1 = 1; a → = ;

0 →a = 1; 1→ a = a.

3. Таблица 10
   a	b	f14
   0	0	0
   0	1	1
   1	0	1
   1	1	1

   f₁₄ – дизъюнкция (или)

f₁₄ =

Свойства:

0 = ; 1 =1;

= ; =1.