3.1.2. Функции, не сохраняющие 0 и 1

Функция называется «не сохраняющей 0», если при подстановке нулевых значений аргументов ее значение равно 1.

Функция называется «не сохраняющей 1», если при подстановке единичных значений аргументов ее значение равно 0.

Пример 2: . При x = 0 f = 1, при x = 1 f = 0, следовательно, эта функция не сохраняет 0 и не сохраняет 1.

3.1.3. Двойственная функция

Пусть имеем функцию f(a,b,c). Двойственной для нее является функция f*= , т.е. функция, в которой все аргументы и сама функция инвертированы.

Примеры:

;

;

– самодвойственная функция;

– самодвойственная функция;

, = = =

= – самодвойственная функция.

Таким образом, для самодвойственной функции можно записать

f(a,b,c) = .

3.1.4. Монотонная функция

Выше (см. Раздел 1) мы установили для входных наборов отношение предшествования: Входной набор предшествует набору (обозначается это так ), если .

функция монотонна, если для любых двух наборов таких, что они отвечают условиям , имеет место .

Если хотя бы для одной пары таких наборов это не выполняется, то функция не монотонна. Например, функции монотонны, а функция не монотонна.

Замечание: Любая монотонная логическая функция может быть представлена в форме без инверсий.

3.1.5. Линейная функция

Функция называется линейной, если ее можно представить полиномом Жегалкина в виде суммы по модулю 2 константы a₀ и переменных x_i, умноженных на постоянные коэффициенты:

, – линейная функция.

– нелинейная функция, так как есть произведение переменных.

3.2. Полином Жегалкина

Полином Жегалкина – это форма представления логических функций в системе {1, &, }. Заметим: Всякая логическая функция имеет единственное представление в форме полинома Жегалкина.

3.2.1.Свойства операции сложение по модулю 2

Другое название операции (функции) сложение по модулю 2 – исключающее ИЛИ (правда это название годится только при двух аргументах, при большем числе аргументов лучше подходит название сложение по модулю 2).

1.

2.

3.

4. Если то можно записать или

5.

6.

7.

8.

9.

10.

3.2.2. Способы получения полинома Жегалкина

• Способ неопределённых коэффициентов.

Пример 1: Рассмотрим этот способ на примере преобразования функции

.

Таблица истинности этой функции показана в табл. 11, которая для удобства приведена здесь повторно, правда, с другими обозначениями переменных.

Таблица 11
x1	x2	f
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Последовательность действий здесь такова:

1. Записать полином в общем виде

.

Поочередно подставить в полином значения переменных из входных наборов и приравнять его значению функции на этом наборе.

В результате получим систему уравнений.

2. Решить полученную систему уравнений.

Система уравнений Решение

; ; ;

; ; ;

; ;

;

Следовательно, – нелинейная функция.

• Получение полинома Жегалкина по КНФ и ДНФ:

Здесь применяются свойства 2 и 10 функции М2.

Пример 2: Представим функцию примера 1 в конъюнктивной форме (в системе И, ИЛИ, НЕ) и выполним преобразования для получения полинома Жегалкина

Сначала избавляемся от ИЛИ по свойству 10, затем избавляемся от НЕ по свойству 2 и, наконец, по правилу 2 удаляем x₂: .

Пример 3: Пусть задана функция в ДНФ. Для перехода к форме в виде полинома Жегалкина необходимо выполнить следующее

Действия здесь аналогичны предыдущему примеру:

избавляемся от ИЛИ, а затем от НЕ и от x₂, так как .

• Получение полинома Жегалкина по СДНФ:

1. Вместо символа дизъюнкции пишем ;

2. Исключаем инверсии по свойству ;

3. Раскрываем скобки и упрощаем ( и т.п.).

При выполнении первого пункта здесь учитывается то, что в СДНФ всегда присутствуют произведения, отличающиеся видом хотя бы одной переменной, например, abc и ab , поэтому преобразование их суммы по свойству 10 получается таким

= ,

так как .