2.5. Вопросы для самоконтроля

1. Какие формы задания логических функций Вы знаете? Приведите примеры.

2. Какие табличные формы представления логических функций Вы знаете?

3. Что такое формула? В чем различие логической функции и ее формулы?

4. Приведите правила получения СДНФ по таблице истинности.

5. Расшифруйте название СДНФ. Приведите пример.

6. Приведите правила получения СКНФ по таблице истинности.

7. Расшифруйте название СКНФ. Приведите пример.

8. Поясните понятия элементарной конъюнкции, элементарной дизъюнкции и их ранга.

9. Что такое терм, минтерм и макстерм?

10. Какими свойствами обладают минтермы и макстермы?

11. Что такое конституента нуля и конституента единицы?

12. Что такое ДНФ? КНФ?

13. Как строится для логической функции диаграмма двоичного решения? Постройте диаграмму двоичного решения для функции

14. Как строятся временные диаграммы логических функций? Постройте временные диаграммы для функции

15. Как анализируются временные диаграммы логических функций? Приведите пример.

3. Функционально полные системы функций

Повторим последний вывод п. 2.3.1 (с учетом сделанного там замечания):

• Совокупность логических операций, позволяющая составить формулу для любой логической функции, называется функционально полной системой функций или базисом.

Основной или начальной функционально полной системой функций является система И, ИЛИ, НЕ – это доказывается правилами составления совершенных нормальных форм логических функций по таблице истинности.

Вот примеры других функционально полных систем функций:

1. Штрих Шеффера

f = ab = ,

aa = (НЕ),

(И),

(aa)(bb) = = a b (ИЛИ).

Здесь мы привели один из способов доказательства полноты системы логических функций:

Система логических функций функционально полна, если с помощью функций, входящих в систему, можно реализовать функции НЕ, И, ИЛИ, которые образуют функционально полную систему.

Таким образом, одна функция штрих Шеффера является функционально полной системой функций.

Заметим: Система НЕ, И, ИЛИ излишне полна, т.е. в ней имеются «лишние» функции.

Действительно, если имеем НЕ и И, то ИЛИ можно получить следующим образом

Если имеем НЕ и ИЛИ, то И можно получить так

.

Неизлишне полная система логических функций (система, из которой нельзя исключить никакую функцию без потери полноты) называется минимальным базисом.

2. Стрелка Пирса

f = a↓b= ,

a↓a = = (НЕ),

(ИЛИ),

= (И).

Значит, функция стрелка Пирса является функционально полной системой функций.

3. Импликация и «0»

f = a→b = b,

a→0 = 0 = (НЕ),

→b = b = a b (ИЛИ),

(И).

Следовательно, система {→ и «0»} является функционально полной системой функций.

Другой способ доказательства полноты системы логических функций вытекает из теоремы Поста–Яблонского.

3.1. Теорема Поста–Яблонского

Смысл теоремы сводится к следующему.

Набор функций двух переменных, является функционально полной системой, если хотя бы одна из его функций:

• Не сохраняет «0»;

• Не сохраняет «1» ;

• Не самодвойственна;

• Не монотонна;

• Не линейна.

Эти свойства логических функций разбивают их на классы сохраняющих и не сохраняющих 0; сохраняющих и не сохраняющих 1; самодвойственных и не самодвойственных и т.д. При этом суперпозиция логических функций одного класса дает функцию того же класса.

Свойства логических функций двух переменных, разбивающие их на классы, приведены в табл. 16, где символом «+» отмечено наличие свойства, указанного в шапке таблицы.

Таблица 16
Свойства функций двух переменных, разбивающие их на классы
Функция	Сохранение «0»	Сохранение «1»	Само–двойственная	Монотонная	Линейная
	+			+	+
	+
			+		+
	+
			+		+
	+				+
	+	+		+
		+			+
	+	+	+	+	+
		+
	+	+	+	+	+
		+
	+	+		+
		+		+	+

Пример 1: Применим теорему Поста–Яблонского для доказательства полноты системы { }.

Функция (НЕ) не сохраняет 0 и 1 и не монотонна.

Функция (ИЛИ) не самодвойственна и не линейна.

Всеми нужными свойствами эти функции обладают, следовательно, они образуют полную систему. Причем исключить из этой системы ничего нельзя.