ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ––––––––––––––––––––– ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ” ––––––––––––––––––––– Кафедра “Персональные компьютеры и сети” Федоров В.Н. ВВЕДЕНИЕ В БУЛЕВУ алгебрУ Учебное пособие Москва 2007

УДК: 519.1(075.8)

ББК 32.973.3

Введение в булеву алгебру / В.Н. Федоров – М.: МГУПИ, 2007. – 99 с.

Рекомендовано Ученым Советом МГУПИ в качестве учебного пособия для специальности 230101.

Рассмотрены понятия и определения булевой алгебры: основное множество, набор операций (сигнатура), аксиомы, логические переменные, логические функции, их свойства, законы и тождества, способы задания и минимизации, функциональная полнота систем логических функций, синтез и анализ логических схем, оценка их качества, булева производная и ее применение. Приведены примеры различных преобразований логических функций.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлению “Информатика и вычислительная техника”. Для специальности 230101 учебное пособие предназначено для использования в курсе “Дискретная математика”.

Печатается по решению Редакционно–издательского совета Московского государственного университета приборостроения и информатики.

Научный редактор: д.т.н., проф. Михайлов Б.М.

Рецензенты: к.т.н., проф. Степанова Т.А.,

к.т.н., доц. Кадиев А.Р.

Работа рассмотрена и одобрена на заседании кафедры ИТ4 “Персональные компьютеры и сети” ____________2007г., протокол № ___.

 Федоров, 2007

Содержание

Содержание 3

Введение 5

1. Функции алгебры логики и их свойства 7

1.1. Функции одной переменной 9

1.2. Функции двух переменных 10

1.3. Свойства функций 12

1.4. Обратные и инверсные логические функции 14

1.4.1. Обратные функции 14

1.4.2. Инверсные функции 16

1.5. Приоритеты операций 17

1.6. Законы и тождества булевой алгебры 18

1.7. Вопросы для самоконтроля 19

2. Формы задания логических функций 21

2.1. Словесная форма 21

2.2. Табличная форма 21

2.3. Задание формулой 22

2.3.1. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма 22

2.3.2. Совершенная конъюнктивная нормальная форма 24

2.3.3. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы 27

2.3.4. Минтермы, макстермы и их свойства 28

2.4. Другие формы задания логических функций 29

2.5. Вопросы для самоконтроля 34

3. Функционально полные системы функций 35

3.1. Теорема Поста–Яблонского 36

3.1.1. Определение минимального базиса 37

3.1.2. Функции, не сохраняющие 0 и 1 41

3.1.3. Двойственная функция 42

3.1.4. Монотонная функция 42

3.1.5. Линейная функция 42

3.2. Полином Жегалкина 43

3.2.1.Свойства операции сложение по модулю 2 43

3.2.2. Способы получения полинома Жегалкина 43

3.3. Вопросы для самоконтроля 45

4. Минимизация логических функций 47

4.1. Расчетный метод 47

4.1.1. Склеивание 47

4.1.2. Поглощение 48

4.1.3. Развертывание 49

4.2. Карты Карно 52

4.3. Минимизация систем логических уравнений 55

4.4. Частично определенная логическая функция 56

4.5. Вопросы для самоконтроля 59

5. Синтез и анализ логических схем 60

5.1. Схемы на переключателях, диодах и транзисторах 60

5.2. Схемы на логических элементах 62

5.2.1. Реализация функции на элементах И, ИЛИ, НЕ 63

5.2.2. Реализация функции на элементах И–НЕ 64

5.2.3. Реализация функции на элементах ИЛИ–НЕ 64

5.3. Анализ схем 65

5.4. Оценка качества схем 66

5.5. Вопросы для самоконтроля 68

6. Булева производная 69

6.1. Контроль работоспособности логических схем 69

6.2. Построение тестов методом булевой производной 71

6.2.1. свойства булевой производной 73

6.3. Вопросы для самоконтроля 77

7. Примеры преобразований логических функций 79

7.1. представление логических функций в системе И, ИЛИ, НЕ 79

7.2. Построение таблиц истинности 79

7.3. Преобразование КНФ в ДНФ и ДНФ в КНФ 81

7.4. Доказательства равенства логических функций 82

7.5. Разложение логических функций по переменным 83

7.5.1. Последовательное разложение по всем переменным 84

7.5.2. Параллельное разложение по всем переменным 85

8. Домашняя работа 87

8.1. Задание 87

8.2. Выполнение 89

9. Список литературы 96

Введение

Булева алгебра является одним из китов, на которых держится вычислительная (цифровая) техника. Булева алгебра – это часть математической логики, а именно алгебра логики, названная булевой алгеброй в честь ее создателя – Дж. Буля (1815–1864 гг.).

Базой алгебры логики являются понятия высказывания, истинности и ложности высказывания, связях высказываний.

Высказывания в зависимости от значения бывают истинными или ложными. Значение высказывания может изменяться с изменением обстоятельств, в результате чего может измениться оценка его истинности. Таким образом, высказывания можно разделить на:

• Истинное постоянно – его принимают за 1;

• Ложное постоянно – его принимают за 0;

• Высказывание, которое может быть истинным или ложным, т.е. иметь значения 1 и 0 в зависимости от определенных условий, – его принимают за логическую переменную x.

Замечание: Здесь 1 и 0 не цифры, а символы, обозначающие истину и ложь.

Высказывания бывают простыми и сложными.

Простые высказывания – это логические переменные.

Сложные высказывания – это логические функции. Они состоят из простых высказываний (аргументов) и связок типа НЕ; И; ИЛИ; ЕСЛИ …, ТО …; … ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ….

Если аргументы обозначить символами латинского алфавита, а связки символами логических операций , то логические функции можно представить в виде формул.

Для логических операций установлен определенный порядок их выполнения, определяемый приоритетами (см. ниже). Для изменения этого порядка, как и в обычной алгебре, используют скобки.

Историческая справка: Первая работа Дж. Буля по алгебре логики появилась в 1847 г., а окончательный вариант в 1854 г. Дж. Буль, разрабатывая алгебру логики, вряд ли предполагал, что пользоваться ею будут миллионы людей, правда, до широкого применения математической логики прошло достаточно много времени. хотя еще в 1910 г. П. Эренфест обратил внимание на возможность применения математической логики для решения прикладных вопросов релейно–контактных схем, но только в 1938 г. К. Шенноном и В.И. Шестаковым была сделана первая попытка описать логические схемы на реле в терминах алгебры логики. В 1950 г. эта идея была оформлена в работе М.А. Гаврилова как теория логического проектирования релейно–контактных схем. В дальнейшем многие отечественные и зарубежные ученые проводили исследования в области теории и технологии проектирования логических схем. Сегодня булева алгебра вполне сформировавшийся раздел дискретной математики, используемый не только в вычислительной технике, но и во многих других отраслях науки и техники.