§ 4. Двумерные случайные величины

Часто приходится решать задачи, в которых рассматриваются события, описываемые не одной, а несколькими, в частности, двумя случайными величинами. Наряду с одномерными случайными величинами, возможные значения которых определяются одним числом, теория вероятностей рассматривает и многомерные случайные величины. Каждое возможное значение такой величины представляет собой упорядоченный набор нескольких чисел. Геометрической иллюстрацией этого понятия служат точки п-мерного пространства, каждая координата которых является случайной величиной (дискретной или непрерывной), или п-мерные векторы. Поэтому многомерные случайные величины называют еще случайными векторами. Например, в задаче «о встрече» время прихода одного участника (ξ) и другого (ή), если условия их прихода известны (скажем - любой момент в течение заданного часа), пару чисел ξ, ή можно рассматривать как двумерную случайную величину.

Двумерной случайной величиной называется система из двух случайных величин (ξ, ή), для которой определена вероятность совместного выполнения неравенств ξ<x и ή <y, где x и y - любые действительные числа.

Функцией распределения F(x, y) двумерной случайной величины (ξ,ή), называется вероятность совместного выполнения неравенств ξ₁<x и ή<y, где x и y - любые действительные числа:

F( х, у ) =

Рассмотрим ξ и ή как декартовы координаты точки на плоскости. Точка М(ξ, ή) может занимать то или иное положение на плоскости 0ξή. Тогда функция распределения даст вероятность того, что случайная точка М(ξ, ή) попадает в область σ, изображенную на рис.4.1.

Рис. 4.1. Область функции распределения

Замечание. Определение функции распределения справедливо как для непрерывной, так и для дискретной двумерной случайной величины.

Двумерная случайная величина (ξ, ή) называется дискретной, если ξ и ή дискретные величины.

Пусть возможные значения ξ и ή образуют, например, конечные последовательности x₁, x₂, ..., x_n и y₁, y₂, ..., y_s. Возможные значения двумерной случайной величины (ξ, ή) имеют вид (x_i, y_j), где i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., s. Обозначим через p_ij вероятность того, что (ξ, ή) =(x_i ,y_j ):

.

В этом случае функция распределения F(х, у) имеет вид

,

где двойная сумма распространена на те i и j, для которых x_i<x и y_j<y.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (ξ,ή), так же, как и одномерной, можно задать таблицей. Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины ξ, а первый столбец — возможные значения ή. В остальных клетках таблицы указаны соответствующие вероятности. При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения ее составляющих, так как событие Х = х₁ представляет собой сумму несовместных событий (X = x₁, Y = y₁), (X = x₁, Y = y₂),…, (X = x₁, Y = y_m), поэтому р(Х = х₁) = p(x₁, y₁) + p(x₁, y₂) +…+ p(x₁, y_m) (в правой части находится сумма вероятностей, стоящих в столбце, соответствующем Х = х₁). Так же можно найти вероятности остальных возможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужно сложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей Y = y_j.

Две дискретные случайные величины ξ и ή называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение принимает другая случайная величина, то есть если для всех пар i, j выполняется соотношение

.

Пример. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (X;Y):

Y\X	-1	0	1
0	0	0,1	0,4
1	0,2	0,2	0,1

Составить законы распределения её компонент и . Определить вероятность P{X<Y}.

Решение.

Вначале составим ряды распределения случайных величин X и Y. Случайная величина X принимает значения –1; 0 и 1 с вероятностями 0,2=0+0,2; 0,3=0,1+0,2 и 0,5=0,4+0,1 соответственно. Таким образом, эта случайная величина имеет закон распределения

X	-1	0	1
P(X)	0.2	0.3	0.5

Аналогично получаем закон распределения случайной величины Y:

Y	0	1
P(Y)	0.5	0.5

Вероятность

P{X<Y}= P{(X= -1),(Y=0)}+P{(X= -1),(Y=1)}+P{(X=0),(Y=1)}=

=0+0,2+0,2=0,4.

Двумерная величина (ξ, ή) называется непрерывной, если существует такая непрерывная неотрицательная функция f(x,y) двух переменных, что вероятность того, что точка М(ξ, ή) содержится в некоторой области σ плоскости 0ξή, равна двойному интегралу от функции f(x,y) по области σ:

.

Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называется смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения:

.

Замечание. Двумерная плотность вероятности представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Δх и Δу к площади этого прямоугольника при Δх→0, Δу →0.

Если известна плотность распределения, то функция распределения может быть легко найдена по формуле: .

Двумерная плотность распределения неотрицательна и двойной интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности должен быть равен единице:

.

По известной плотности совместного распределения можно найти плотности распределения каждой из составляющих двумерной случайной величины:

, ,

,

.

Таким образом, зная совместный закон распределения, можно найти законы распределения каждой случайной величины, входящей в систему. Но на практике чаще встречается обратная задача – найти совместный закон распределения по известным законам распределения случайных величин. В общем случае эта задача является неразрешимой, так как закон распределения случайной величины ничего не говорит о связи этой величины с другими случайными величинами. Кроме того, если случайные величины зависимы между собой, то закон распределения не может быть выражен через законы распределения составляющих, т.к. должен устанавливать связь между составляющими. Все это приводит к необходимости рассмотрения условных законов распределения.

Условным законом распределения называется распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение. Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения. Условная плотность распределения вычисляется по формулам:

, .

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X = x (х – определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности:

.

Для непрерывных случайных величин: , где f(y/x) – условная плотность случайной величины Y при X=x. Условное математическое ожидание M(Y/X=x)=f(x) является функцией от х и называется функцией регрессии Х на Y.

Пример. Найти условное математическое ожидание составляющей Y при X=x1=1 для дискретной двумерной случайной величины, заданной таблицей:

Y	X
	x1=1	x2=3	x3=4	x4=8
y1=3	0,15	0,06	0,25	0,04
y2=6	0,30	0,10	0,03	0,07

Решение.

p(x₁)=0.15+0.30=0.45, p(y₁/x₁ )= p(x₁ ,y₁ )/p(x₁)=0.15/0.45=1/3,

p(y₂/x₁ )= p(x₁ ,y₂ )/p(x₁)=0.30/0.45=2/3,

=> .

Условное математическое ожидание случайной величины при условии, что другая случайная величина приняла заданное значение, определяет число-точку, относительно которой группируются результаты конкретных испытаний над одной случайной величиной при условии, что в этом испытании (над двумерной случайной величиной XY) вторая случайная величина приняла заданное фиксированное значение. Условная дисперсия определяет степень концентрации результатов конкретных испытаний над одной случайной величиной относительно условного математического ожидания.

При решении практических задач условное математическое ожидание и условная дисперсия обычно используются, когда при проведении испытания над X и Y, имеется возможность измерять результаты испытания над одной случайной величиной, а измерение другой недоступно. Если условные дисперсии малы, то в качестве неизвестного значения не измеряемой случайной величины можно взять математическое ожидание.