Введение

В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых нельзя предсказать. Например: нельзя определить однозначно результат выпадения «орла» или «решки» в результате подбрасывания монеты, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число «орлов» и «решек». Изучение количественных закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, и составляет предмет теории вероятностей. В основе этой теории лежат специальные математические модели, в которых сопоставлению событий по степени их правдоподобия можно придать точный смысл. Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно французским математиком П.Лапласом (1749-1827) в книге «Аналитическая теория вероятностей».

Для решения задач, связанных с анализом информации при наличии фактора случайности, разработана совокупность методов, которая называется математической статистикой. Математическая статистика возникла в 17 веке и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Между основными понятиями в математической статистике и теории вероятностей существует тесная взаимосвязь, которая обосновывает практическую ценность теории вероятностей и подтверждает теоретическую основу математической статистики.

Общим для статистических и вероятностных характеристик является техника их вычислений. Главное различие между ними состоит в том, что статистические характеристики относятся к эмпирическим, а вероятностные к теоретическим понятиям. Статистические характеристики - это величины, которые при соблюдении определенных условий стремятся к вероятностным. Вероятностные характеристики можно рассматривать как предельные значения сопоставимых им характеристик математической статистики при возрастании числа наблюдений или опытов.

Исследование математико-статистических моделей позволяет делать обоснованные выводы, решать задачи прогнозирования в различных сферах человеческой деятельности.

Элементы комбинаторики

В теории вероятностей часто приходится иметь дело с задачами, в которых необходимо подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Задачи такого типа называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением таких задач, — комбинаторикой. Иначе: комбинаторика изучает вопрос о том, сколько различных комбинаций подчиненных тем или иным условиям можно составить из конечного числа различных элементов, безразлично какой природы. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики.

Пусть n - натуральное число. Через n! (читается «n-факториал») обозначается число, равное произведению всех натуральных чисел 1 от до n:

n! = 1 * 2 * 3 * ... * n.

В случае если n=0, то по определению полагается: 0! = 1.

Пример. Найдем значения следующих выражений:

1! = 1

2! = 1 * 2 = 2

3! = 1 * 2 * 3 = 6

4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120

6! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 720.

Если n сравнительно велико ( n>10) ,то часто n! вычисляют по формуле Стирлинга: , где  = 3,14159..., е = 2,71828..., точность которой улучшается с увеличением n. Так при n=5 по приближенной формуле получаем 118,019. Относительная ошибка при этом составляет 2%.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок вычисляется по формуле:

, где n! = .

Пример. Сколько различных десятизначных чисел можно составить из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Решение. Так как каждая цифра в обозначении числа встречается один раз и цифра 0 не должна занимать первое место, то из 10 цифр можно составить 10! различных чисел, в которых каждая цифра содержится один раз, но из общего количества полученных чисел 9! чисел начинаются цифрой 0. Следовательно, искомое количество чисел равно:

10! – 9! = 9  9! = 1  2  3  4  5  6  7  8  9² = 3 265 920.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений вычисляется по формуле:

.