Элементы математической статистики

§ 1. Предмет математической статистики

Для решения задач, связанных с анализом информации при наличии фактора случайности, разработана совокупность методов, которая носит название математической статистики. Математическая статистика – это раздел математики, занимающийся разработкой методов сбора, регистрации, систематизации результатов многократных наблюдений с целью познания массовых явлений и процессов. Методы математической статистики позволяют анализировать результаты опытов (наблюдений) и на основе анализа строить оптимальные математико-статистические модели изучаемых явлений и процессов. Исследование математико-статистических моделей позволяет делать обоснованные выводы и прогнозы, решать задачи прогнозирования в различных сферах человеческой деятельности.

Математическая статистика возникла в 17 веке и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Между основными понятиями в математической статистике и теории вероятностей существует тесная взаимосвязь, которая обосновывает практическую ценность теории вероятностей и подтверждает теоретическую основу математической статистики.

Общим для статистических и вероятностных характеристик является техника их вычислений. Главное различие между ними состоит в том, что статистические характеристики относятся к эмпирическим, а вероятностные к теоретическим понятиям. Статистические характеристики - это величины, которые при соблюдении определенных условий стремятся к вероятностным. Вероятностные характеристики можно рассматривать как предельные значения сопоставимых им характеристик математической статистики при возрастании числа наблюдений или опытов.

Закономерность, проявляющаяся лишь в большой массе явлений через преодоление свойственной ее единичным элементам случайности, называется статистической закономерностью.

Первая теорема, установившая связь между теорией (теория вероятностей) и ее практической стороной (математическая статистика) была доказана в конце 17 века Якобом Бернулли (При соединении большого числа случайных явлений в общих характеристиках всей массы случайность исчезает в тем большей мере, чем больше соединено единичных явлений.). Эта теорема дала начало развитию предельных теорем. Несмотря на колебания отдельных результатов наблюдений при повторных измерениях проявляется определенная закономерность (устойчивость). Она состоит в том, что средний результат при большом числе наблюдений не зависит от отдельных наблюдений.

Основные понятия теории вероятностей и математической статистики тождественны, но не равны в смысле их количественного выражения. Их можно сопоставить следующим образом:

Теория вероятностей	Математическая статистика
Генеральная совокупность	Выборочная совокупность
Вероятность	Частость
Математическое ожидание	Средняя арифметическая (простая и взвешенная)
Закон распределения и теоретическая функция	Вариационный ряд распределения

Задачи математической статистики можно разбить на три типа:

• определение неизвестного закона распределения случайной величины,

• определение параметров распределения и их оценка,

• проверка правдоподобия гипотез о распределении статистических параметров.

Математическая статистика указывает, как наилучшим способом использовать имеющуюся информацию для получения по возможности более точных характеристик массового явления. Методы статистического анализа являются универсальными и могут применяться в самых различных областях человеческой деятельности.