1. Так как , то , каково бы ни было по своей природе событие а.

2. Если а - событие невозможное, то .

3. Если в- событие достоверное, то .

Некоторые задачи можно решать значительно проще с использованием простейших теорем теории вероятностей.

Суммой или объединением двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Обозначается: С=А+В.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность наступления одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, то есть

.

Следствие 1. Если события А, В, С образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1.

Следствие 2. Сумма вероятностей двух противоположных событий А и равна 1.

Пример. Пусть вероятность того, что в магазине очередной будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0.12, 45-го - 0.04, 46-го или большего - 0.01. Найти вероятность того, что очередной будет продана пара мужской обуви не менее 44-го размера.

Решение. Искомое событие D произойдет, если будет продана пара обуви 44-го размера (событие А), или 45-го (событие В), или не менее 46-го (событие С), то есть событие D есть сумма событий А, В, С. События А, В, С несовместны. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей, получим:

.

Пример. Сохраняя начальные условия предыдущего примера найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера.

Решение. События «очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера» и «будет продана пара обуви размера не меньше 44-го» - противоположные. Поэтому вероятность искомого события , поскольку .

Произведением или пересечением событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении этих событий, то есть в наступлении и события А, и события В. Обозначается: С=АВ.

Событие А зависимо от события В, если вероятность появления события А зависит от того, произошло или нет событие В.

Условной вероятностью события В называется вероятность события В при условии, что событие А уже наступило. Обозначается: P(B/A) или P_A(В).

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом испытании. Событие А – появление белого шара при втором испытании.

Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет . Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет .

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий, то есть вероятность совместного наступления событий А и В, равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, то есть

или .

Следствие. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей, то есть .

Пример. На десяти карточках напечатаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Найти вероятность того, что три наудачу взятые и поставленные в ряд карточки составят число 125.

Решение. Искомое событие D произойдет, если первой будет взята карточка с цифрой 1 (событие А), вторая - с цифрой 2 (событие В), третья - с цифрой 5 (событие С). Вероятность его по теореме умножения вероятностей для трех независимых событий:

.

Теорема сложения вероятностей для случая, когда события совместны. Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, то есть

.

Пример. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

Решение. Событие А - «появление герба при подбрасывании первой монеты», событие В - «появление герба при подбрасывании второй монеты». Так как А и В - совместные события, то

.

Некоторые задачи можно решать особым приемом, который приводит к формуле полной вероятности (объединение теорем сложения и умножения).

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти при осуществлении одного из несовместных событий В₁, В₂ , В₃ ,..., В_n , образующих полную группу, определяется формулой

.

Замечание. События В₁, В₂ , В₃ ,..., В_n называются гипотезами.

Пример. В ящике лежат 10 теннисных мячей, в том числе 8 новых и 2 игранных. Для игры наудачу выбирается два мяча, и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры наудачу извлекаются еще два мяча, Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

Решение. Событие А - «для второй игры взято два новых мяча». Для решения, исходя из условия, удобно задать три гипотезы:

В₁ - «для первой игры взято два новых мяча»;

В₂ - «для игры взяты новый и играный мяч»;

В₃ - «для первой игры взято два играных мяча». Их вероятности вычисляются по формуле классической вероятности (для подсчета числа событий используются формулы комбинаторики):

; ; .

Проверка: .

В результате осуществления гипотезы В₁ в ящике останется 6 новых и 4 игранных мяча, поэтому . В результате осуществления гипотезы В₂ в ящике останется 7 новых из 10, поэтому . Аналогично, . Таким образом:

.

Замечание. В одной и той же задаче могут быть выбраны разные наборы гипотез. Желательно формулировать гипотезы так, чтобы их вероятности, а также и условные вероятности вычислялись проще.

При решении практических задач, когда событие А, появляющееся совместно с каким-либо из несовместных событий В₁, В₂ , В₃ ,..., В_n, которые образуют полную группу, произошло и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий В₁, В₂ , В₃ ,..., В_n применяются формулы Бейеса (Bayes):

Пример. Из 10 студентов, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо хорошо, двое удовлетворительно, а один совсем не готовился - понадеялся на то, что и так все знает. В билетах 20 вопросов. «Отличники» могут ответить на все вопросы, «хорошисты» - на 16 вопросов, не подготовившиеся - на 5 вопросов, остальные - на 10 вопросов. Каждый студент получает 3 вопроса из 20. Первый отвечающий ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность, что он отличник?

Решение.

Событие А - «студент ответил на 3 вопроса»;

событие В₁ - «отвечал отличник»;

событие В₂ - «отвечал хорошист»;

событие В₃ - «отвечал слабо подготовленный студент».

событие В₄ - «отвечал неподготовленный студент»;

Из условия задачи имеем:

P(B₁)=0.3; P(B₂)=0.4; P(B₃)=0.2; P(B₄)=0.1.

Кроме этого:

; ; ; .

 по формуле Бейеса получаем

.

Как видно, искомая вероятность сравнительно невелика. Поэтому преподавателю придется предложить студенту еще несколько дополнительных вопросов.

Замечание. Формулы Бейеса находят широкое применение в математической статистике.

Рассмотрим на примере графическую схему, которая помогает вычислять вероятности интересующих событий. Основой такой схемы является дерево вероятностей.

Пример. В урне 10 шаров, 3 из которых черные, а остальные белые. Из урны последовательно наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что это будут шары белого цвета?

Решение. На рисунке 2.1 построено дерево вероятностей, на ребрах которого указаны вероятности появления шара того или иного цвета, как при первом, так и при втором извлечениях.

Рис. 2.1. Дерево вероятностей

Отсюда легко получается ответ на поставленный вопрос - соответствующая вероятность равна

3/10∙2/9=2/30=1/15.

Одновременно можно ответить на другие вопросы. Например, вероятность того, что шары будут разных цветов, равна

3/10∙7/9+7/10∙3/9=42/90=7/15.

Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания. Примерами этому может служить: извлечение наудачу из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шара, одного белого шара (с возвращением), проверка на стандартность детали произведенной в некоторых постоянных технологических условиях, проверка того, что при опускании монеты кофейный автомат сработает правильно и многое другое. Эти события, можно описать одной схемой, которая называется схемой Бернулли.

Пусть производится n последовательных независимых испытаний. Результат каждого испытания (события А) будем считать не зависящим от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. Пусть вероятность P(A) появления события А постоянна и равна p. Вероятность P( ) события обозначим через q: P( ) = 1- p=q. В этом случае вероятность того, что в n последовательных «испытаниях Бернулли» событие произойдет ровно k раз, равна

, где .

Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 раза появится белый шар.

Решение. В приведенных выше обозначениях n=8; p=1/4; q=3/4; k=5. Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

.

При больших n использование формулы Бернулли затруднительно, в этих случаях для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют:

либо формулу Лапласа (локальная теорема Лапласа) , где и (функция - четная ( ), ее значения табулированы, таблица, позволяющая вычислять значения функции , имеется во всех учебниках по теории вероятностей),

либо формулу Пуассона , где λ=np=const – среднее число появлений события в n испытаниях называется параметром распределения Пуассона, а сама формула является математической моделью «редких, но массовых явлений».

При небольших значениях вероятностей p (меньших 0.1) и больших n более точный результат дает формула Пуассона.

Пример. Найти вероятность выпадения ровно 50 «орлов» при 100 бросаниях монеты.

Решение. Для вычисления воспользуемся формулой Лапласа. Имеем: n=100, k=50, p=0.5, q=0.5.

 = 0, .

 .

Пример. Найти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100 бросках монеты.

Решение. Для решения подобных задач применяют интегральную теорему Лапласа: вероятность появления события при n испытаниях в интервале от k₁ раз до k₂ раз вычисляется по следующей формуле

,

где функция вычисляется с помощью таблиц.

Функция - нечетная: .

При x≥5 считают =0.5.

Имеем: n=100, k₁=47, k₂=57 p=0.5, q=0.5.

 .

Пример. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. Имеем: n=1000 (очень велико), p=0.002 (очень мало), λ=np=2, k=3.

Применяем формулу Пуассона, тогда искомая вероятность равна:

.

Пример. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0.003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение. Имеем: λ=np=1000·0.003=3. По формуле Пуассона имеем:

.