1.6.1.Свойства непрерывных функций.

Рассмотрим свойства функций, определенных на одном и том же множестве.

1. Сумма конечного числа функций непрерывных в точке , есть функция непрерывная в этой точке.

2. Произведение конечного числа функций непрерывных в точке , есть функция непрерывная в этой точке.

3. Отношение двух функций непрерывных в точке , есть функция непрерывная в этой точке, если значение функции, стоящей в знаменателе, отлично от нуля в точке .

4. Многочлен есть функция непрерывная на всей числовой прямой.

5. Любая рациональная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

6. Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка, в которой данная функция обращается в нуль.

7. Если функция непрерывна на отрезке, то среди значений принимаемых ею на этом отрезке, существует наибольшее и наименьшее значение. При этом она принимает все значения между наибольшим и наименьшим значениями.

1.6.2.Точки разрыва функции.

Точки разрыва функции – это точки в которых функция не является непрерывной.

Например, рассмотрим функцию . В точке существуют левый и правый пределы этой функции . Но точка будет точкой разрыва функции, т.к. левосторонний и правосторонний пределы не равны по значению функции в этой точке.

Р исунок 2

0

1.6.3.Классификация точек разрыва функции.

Точки разрыва. В которых функция не является непрерывной, классифицируются следующим образом.

• Устранимый разрыв. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предел функции в этой точке существует, но в точке функция не определена, либо ее значение в этой точке не равно пределу в этой точке.

Р азрыв I рода. Точка является точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:

Например, для рассмотренной функции точка является точкой разрыва первого рода.

Разрыв II рода. Точка является точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов функции или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Например, для функции точка является точкой разрыва второго рода, т.к. в этой точке

Рисунок 3

График функции

• Т очка скачка функции – это точка, в которой левый и правый пределы функции в точке различны:

Разность называется скачком функции в точке

Пример 7. Показать, что при функция имеет разрыв. Определить тип разрыва.

Решение. Найдем левый и правый пределы:

Видим, что при функция не имеет конечных пределов. Следовательно, - это точка разрыва второго рода.

Пример 8. Показать, что при функция имеет разрыв. Определить тип разрыва.

Решение. Найдем левый и правый пределы.

Видим, что при функция имеет левый и правый пределы, но .Следовательно, точка разрыва первого рода.