2. Раскрытие неопределенности .

В ситуации когда числитель и знаменатель дроби стремится к нулю имеет место неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности данного вида используют следующие способы. 1 способ. Разложение числителя и знаменателя дроби на множители

2. Способ. Умножение числителя и знаменателя дроби на выражение сопряженное числителю (знаменателю).

2. Раскрытие неопределенности .

Если числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при , то в таком случае имеет место неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на старшую степень и применить теорему о пределе частного.

Пример 3. Вычислите предел функции

2. И спользование замечательных пределов.

В математике и ее приложениях широко используются два замечательных предела функции. Теорема о первом замечательном пределе. Предел функции в точке существует и равен единице:

Пример 4. Вычислить предел функции

Решение.

Чтобы использовать первый замечательный предел, необходимо преобразовать эту дробь так, чтобы в знаменателе был аргумент синуса. Для этого умножим и числитель и знаменатель на 6 и только тогда можно будет применять первый замечательный предел. .

Пример 5. Вычислить предел выражения Знаменатель дроби стремится к 0 при x>0. Преобразуем данную дробь, используя формулу тригонометрии .

Теорема о втором замечательном пределе. Предел функции при существует и равен :

Ч исло является одной из фундаментальных величин в математике.

Вычисляя пределы можно использовать следующие равенства:

.

Пример 6. Вычислить предел выражения

Проведем замену переменной . При . Получаем:

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте определение предела функции в точке.

2. Что называется правосторонним (левосторонним) пределом?

3. Сформулируйте теорему о существовании предела функции в точке.

4. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

5. Перечислите основные способы вычисления пределов.

6. Запишите равенство, выражающее первый замечательный передел, второй замечательный предел.

7. Перечислите способы раскрытия неопределенности .

8. Перечислите способы раскрытия неопределенности .

Задания для самостоятельного решения.

1.Найдите предел функции.

1.6.Непрерывность функции.

Понятие непрерывной функции является фундаментальным в математическом анализе.

• Функция называется непрерывной в точке , если предел этой функции в точке равен значению функции в данной точке.

• Функция называется непрерывной справа в точке , если правый предел этой функции в точке равен значению функции в данной точке.

• Функция называется непрерывной слева в точке , если левый предел этой функции в точке равен значению функции в данной точке.

Если функция непрерывна в точке справа и слева, то она непрерывна в этой точке. Функция непрерывна на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна на интервале , и непрерывна в точке справа и в точке слева.