2. Некоторые задачи экономики.

В экономических задачах переменная меняется дискретно, но достаточно часто. Для использования методов интегрирования, предполагающих непрерывность функций, надо составить модель (упрощенный аналог реального объекта), в которой аргументы функции меняются непрерывно.

Пример 49. Найти количество произведенной продукции (дневную выработку) за восьмичасовой рабочий день, если изменение производительности труда в течение дня можно описать формулой , где время в часах, некоторая постоянная, имеющая размерность производительности.

Чему равен объем продукции за третий час рабочего дня?

Р ешение. Данная формула вполне отражает реальный процесс работы ( рис.___). Производительность сначала растет, достигает максимума в середине рабочего дня при , а затем падает.

Рисунок 20

Будем полагать, что производительность труда меняется в течение дня непрерывно, т.е. - непрерывная функция от времени на отрезке .

Дневная выработка -это определенный интеграл – это площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой . .

Объем продукции , произведенной за третий час рабочего дня, равен: .

3.2.4.Приближенное вычисление определенного интеграла.

Решение многих задач сводится к вычислению определенных интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. В этом случае часто бывает вполне достаточно найти их приближенное значение.

Простейшим приближенным методом является метод прямоугольников.

П усть требуется найти от непрерывной функции . Разобьем отрезок на равных частей и проведем через эти точки прямые, параллельные оси ординат.

0

Рисунок 21 Рисунок 22

Заменим дугу кривой ломаной ступенчатой линией. Тогда площадь криволинейной трапеции заменится суммой площадей заштрихованных прямоугольников и соответственно интеграл заменится суммой:

Учитывая, что отрезок разделен на равных частей, получим .Тогда данную сумму можно записать в виде (++).

При сумма (++) приближенно равна данному интегралу и является интегральной суммой; ее предел при ( ) и есть .

Какова же погрешность, возникающая при замене интеграла его интегральной суммой? Не останавливаясь на отыскании этой погрешности заметим, что если функция монотонна, то точное значение интеграл заключено между суммой (++) и суммой , которая получается, если в криволинейной трапеции дугу кривой заменить ломаной ступенчатой фигурой, изображенной на рис.(+++). Следовательно, .

Итак, чтобы найти приближенное значение интеграла , нужно:

1. разделить отрезок на равных частей точками ;

2. вычислить значения подынтегральной функции в точках деления, т.е. найти ;

3. вычислить и по соответствующим формулам: , .

4. вычислить .

Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближенный результат. С увеличением результат становится более точным.

Пример 50. Вычислить методом прямоугольников, разделив промежуток интегрирования на 10 равных частей. Вычислить погрешность приближения.

Решение.

n	xn=xn-1+ x	yn=y(xn)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Точное значение интеграла определяем по формуле Ньютона-Лейбница: .

Найдем относительную погрешность приближенного вычисления:

Метод трапеций.

Г еометрический смысл данного способа приближенного вычисления определенного интеграла состоит в том, что нахождение площади криволинейной трапеции заменяется нахождением площади приблизительно равновеликой «прямолинейной» трапеции.

Рисунок 23

Заменим дугу кривой ломаной линией, вписанной в эту дугу. Тогда площадь криволинейной трапеции заменится суммой площадей обычных (т.е. прямолинейных трапеций). Площади этих трапеций определяются по формулам , где - значения подынтегральной функции в соответствующих точках деления.

Сумму площадей всех элементарных трапеций можно принять за приближенное значение площади криволинейной трапеции, а следовательно, и за приближенное значение определенного интеграла, т.е. или

Данная формула называется формулой трапеций.

Пример 51. Вычислить методом прямоугольников, разделив промежуток интегрирования на 5 равных частей. Вычислить погрешность приближения.

Решение.

n	xn=xn-1+ x	yn=y(xn)
0
1
2
3
4
5

.

Точное значение интеграла . Тогда относительная погрешность приближенного вычисления : .

Сравнивая результаты вычисления относительной погрешности в примерах (50) и (51) убеждаемся в том, что с увеличением результат становится более точным.