3. 1. 2. Неопределенный интеграл.

Неопределенный интеграл функции - это совокупность всех первообразных функции для функции .

Обозначается символом , где -знак интеграла (это стилизованная латинская буква , обозначающая суммирование); - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; - постоянная интегрирования, способная принимать любое значение; -переменная интегрирования.

Г еометрический смысл неопределенного интеграла: это семейство кривых, зависящих от одного параметра , которые получаются путем параллельного сдвига вдоль оси .

Рисунок 13

3. 1. 3. Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .

2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е. , где - постоянная величина, не равная нулю.

3. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е. .

4. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегрального выражения, т.е. .

5. Неопределенный интеграл от дифференциала(производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной , т.е или

3. 1. 4. Основные способы интегрирования.

1. Метод непосредственного интегрирования, который заключается в использовании основных свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличному виду.

Таблица основных формул интегрирования

1		10
2		11
3		12
4		13
5		14
6		15
7		16
8
9

Пример 30. Найти неопределенный интеграл

Решение. Используя свойство неопределенного интеграла: интеграл от суммы равен сумме интегралов, и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, а также формулы 3 и 6, получаем:

Пример 31. Найти неопределенный интеграл

Решение.

2.Метод подстановки или введения новой переменной.

Это самый эффективный прием сведения неопределенного интеграла к табличному виду.

Способ подстановки заключается в следующем: заменяют новой переменной такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя, на который всегда можно умножить и разделить подынтегральное выражение).

Правило интегрирования методом подстановки состоит в следующем: - Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно). - Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной и записывают эту замену. - Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной через дифференциал новой переменной. - Производят замену под интегралом. - Находят полученный интеграл. - В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием.

Пример 32. Найти неопределенный интеграл

Решение. = = .

Пример 33. Найти неопределенный интеграл .

Решение. = =

Пример 34. Найти неопределенный интеграл .

Решение. = = .

Правило. Интеграл от нечетной степени синуса или косинуса находим путем отделения одного множителя, затем, используя формулу , разбиваем на два интеграла, и далее используем замену переменных.

Пример 35. Найти неопределенный интеграл .

Решение. =

Правило. Интеграл от четной степени синуса или косинуса можно найти путем понижения степени вдвое по формуле половинного аргумента:

Пример 36. Найти неопределенный интеграл .

Решение.