Задания для самостоятельного решения.

1. Найдите дифференциалы следующих функций:

2. Вычислите приближенные значения функции в точке

3. Вычислите приближенные значения:

Контрольное задание.

1. Найдите производные следующих функций:

2. Найдите производную функции в заданных точках.

3. Точка движется прямолинейно по закону ( - в метрах, - в секундах). Найдите ускорение точки в конце 3-й секунды.

4. В каких точках касательные к графику функции параллельны оси абсцисс?

5. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Найдите координаты всех точек графика этой функции, касательные в которых параллельны найденной касательной.

2.10. Применение производной в исследовании функций.

2.10.1.Исследование функции на монотонность.

Одна из основных задач исследования функции – это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения.

Теорема. Необходимый признак возрастания (убывания) функции. Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на данном интервале, то производная этой функции не отрицательна ( не положительна) в этом интервале.

Теорема. Достаточный признак возрастания (убывания) функции. Если производная функции на некотором интервале положительна (отрицательна) , то функция возрастает( убывает) на этом интервале.

Таким образом, возрастание или убывание функции на интервале вполне определяется знаком производной этой функции. В интервале знакопостоянства производной функция является монотонной.

Сформулируем правило нахождения интервалов монотонности функции : - Находим производную данной функции. - Находим точки, в которых производная данной функции равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции. - Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности. - Исследуем знак производной функции на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале , то на этом интервале функция возрастает; если же , то на таком интервале функция убывает.

Пример 22. Найдите интервалы монотонности следующих функции

Р ешение. 1. Находим производную данной функции. 2. Приравниваем производную к нулю: 3. Находим интервалы монотонности и исследуем знак производной на каждом из найденных интервалов: Значит, на интервале функция убывает, а на интервале функция возрастает.

2.10.2. Исследование функции на экстремум.

Наименьшее значение функции в окрестности некоторой точки , называют минимальным значением (min), а наибольшее ее значение – максимальным (max). Дадим строгое определение этим понятиям.

• Точка называется точкой локального максимума (или просто максимума), если для любого в некоторой окрестности точки верно неравенство .

• Локальный минимум функции – это точка, если для любого в некоторой окрестности точки выполнено неравенство

Рисунок 7 Рисунок 8

Точки локального экстремума – это точки максимумам и минимума.

Экстремум- значение функции в этих точках.

Установим необходимое условие существования экстремума.

Теорема Ферма. Если внутренняя точка из области определения непрерывной функции является точкой экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю, т.е.

Такие точки называются стационарными точками или точками «возможного экстремума». Иными словами, если в этой точке производная равна нулю , то она может и не быть точкой экстремума. Например, для кубической параболы производная в точке , но это не точка экстремума. Условие только необходимое, но не достаточное.

Теорема ( первое достаточное условие существования экстремума).

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и непрерывна в самой точке . Если при переходе через точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то в точке функция имеет максимум. Если же при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то точка является точкой минимума. Если же производная не меняет знак в окрестности точки , то данная функция не имеет экстремума в точке .

Часто бывает более рационально исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной.

Знак первой производной данной функции характеризует возрастание и убывание функции. Точно также знак второй производной связан с возрастанием и убыванием первой производной.

Если первая производная на некотором интервале дифференцируема и возрастает, то в каждой точке этого интервала вторая производная положительна; если же первая производная убывает, то вторая производная в каждой точке этого интервала отрицательна.

Теперь выясним, как изменяется первая производная в точках экстремума и близких к ним точках с увеличением аргумента. Первая производная при переходе через точку максимума меняет знак с плюса на минус; иными словами она от положительных значений переходит к отрицательным, т.е. убывает, а значит, ее производная должна быть отрицательна. Итак, в точке максимума данной функции первая производная равна нулю, а вторая производная отрицательна.

Аналогично, можно показать, что в очке минимума функции первая производная равна нулю, а вторая – положительна.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема. ( Второе достаточное условие существования экстремума).

Если в точке первая производная функции равна нулю , а вторая производная отлична от нуля , то - точка экстремума. Причем: - - точка минимума, если ; - - точка максимума, если .

Нахождение точек экстремума и значений функции в этих точках называется исследованием функции на экстремум.

Исследование дифференцируемой функции на экстремум предусматривает выполнение следующих операций: - Находят производную функции , - Находят все критические точки из области определения функции. - Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и определяют характер экстремума. - Вычисляют значение функции в точках максимума и минимума.

Пример 23. Исследовать на экстремум функцию

Решение	Описание хода решения
	1.Находим производную данной функции.
	2.Приравниваем производную к нулю
	3.Определем знак производной при :
При переходе через точку х=-1производная меняет свой знак с «-« на «+», значит точках=-1 является точкой минимума. Т.к. при переходе через точку х=1 производная меняет свой знак с «+» на «-«, то точка х=1 является точкой максимума.

Пример 24. Найти экстремумы функции .

Решение. Функция определена при всех . . Приравниваем производную в нулю: Точка - точка возможного экстремума. Для исследования этой точки применим теорему о второй производной: и в точке , Следовательно, точка -точка минимума и значение функции в этой точке .

Пример 25. Найти интервалы монотонности функции и точки экстремума.

Решение. Данная функция определена при всех . Найдем производную: . Приравниваем ее к нулю: . Решаем квадратное уравнение и находим две точки возможного экстремума: Использовали необходимое условие экстремума. Теперь достаточное условие: меняет знак с плюса на минус при переходе через точку . Это значит, что точка - точка максимума. При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, значит, - точка минимума. Интервалы монотонности данной функции: - при - функция монотонно возрастает; - при - функция монотонно убывает; - при - функция монотонно возрастает.