Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Оренбургский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика_линейная_алгебра_и_геометрия.doc

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2019

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

6.2. Кривые второго порядка на плоскости

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.

Е сли выбрать систему координат на плоскости так, чтобы начало координат совпадало с центром окружности, то ее уравнение будет выглядеть так:

где R – радиус окружности.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (которая больше, чем расстояние между фокусами).

Е сли система координат расположена по отношению к эллипсу так, чтобы фокусы эллипса находились на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках F₁(c;0) и F₂(-c;0), то этот эллипс будет описываться каноническим уравнением:

( 1) , (a>b)

где а – большая полуось, b – малая полуось эллипса, сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов равна 2а, причем a²=b²+c².

Точки А₁(а;0), А₂(-а;0), B₁(b;0), B₂(-b;0) называют вершинами эллипса. Эллипс – центральносимметричная фигура; его центр в рассматриваемом случае совпадает с началом координат.

Для того, чтобы изобразить эллипс, описываемый уравнением (1) в системе координат, удобно сначала начертить так называемый осевой прямоугольник, отмеченный на чертеже пунктирной линией, а затем вписать в него эллипс.

Отметим, что, если в уравнении вида (1) b>a, то b – большая полуось и эллипс расположен «вертикально», т.е. его фокусы находятся на оси Оу.

Величина называется эксцентриситетом эллипса и характеризует его «сплюснутость». Если  = 0, то с = 0, a = b, в этом случае эллипс превращается в окружность. Если  =1, то с=а, следовательно, b=0, и эллипс вырождается в отрезок F₁F₂.

Взаимное расположение точки М₁(х₁;у₁) и эллипса (1) определяется следующими условиями:

если , то точка лежит на эллипсе; если , то точка лежит внутри эллипса; если , то точка лежит вне эллипса.

Г иперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (которая меньше, чем расстояние между фокусами).

Если поместить фокусы гиперболы в точках F₁(c;0) и F₂(-c;0), то эта гипербола будет описываться каноническим уравнением:

( 2) ,

где b²=c²-a²; 2a – постоянная величина из определения гиперболы. Эксцентриситет гиперболы .

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки А₁(а;0) и А₂(-а;0) называются вершинами гиперболы, отрезок А₁А₂ называется действительной осью гиперболы, а отрезок В₁В₂ (где В₁(b;0),

B₂(-b;0)) – мнимой осью. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых . Как и эллипс, гипербола – центральносимметричная фигура; ее центр в данном случае совпадает с началом координат.

Для того, чтобы изобразить гиперболу (2) в системе координат, следует вначале построить осевой прямоугольник (изображен пунктирной линией). Далее, проводят асимптоты гиперболы – прямые, соединяющие противоположные вершины этого прямоугольника. Затем строят симметричные ветви гиперболы, которые проходят через вершины, касаются осевого прямоугольника и приближаются к асимптотам, но не пересекают их.

У равнение

(3)

также является уравнением гиперболы, но действительной ее осью служит отрезок В₁В₂ оси Оу, так что эта гипербола расположена «вертикально».

Гиперболы (2) и (3), у которых одни и те же полуоси и одни и те же асимптоты, но мнимая ось одной гиперболы служит действительной осью для другой, называют сопряженными.

П араболой называется геометрическое место точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка F(p/2;0), то уравнение параболы имеет вид

( 4) .

Эта парабола расположена симметрично относительно оси Ох.

Точка пересечения параболы и ее оси симметрии (в рассматриваемом случае – начало координат) называется вершиной параболы.

Уравнение

(5) .

является уравнением «вертикальной» параболы, которая симметрична относительно оси Оу. Если p>0, то ветви параболы обращены в положительную сторону оси (вправо и вверх соответственно), при p<0 – в отрицательную сторону (влево и вниз).

Общий вид уравнения кривой второго порядка на плоскости следующий:

(6) Ах²+Вху+Су²+Dx+Ey+F=0.

При помощи параллельного переноса и поворота осей координат, любое уравнение вида (6) можно привести к каноническому виду, получив в новой системе координат одно из следующих уравнений (в скобках указаны кривые, задаваемые этими уравнениями):

(эллипс)

(вырожденный эллипс - единственная точка (0;0))

(мнимый эллипс, которому не принадлежит ни одна точка плоскости)

или (гиперболы)

(две прямые: )

или (параболы)

или , (две прямые: или )

или , a>0 (мнимые прямые, которым не принадлежит ни одна точка плоскости)

В частности, если уравнение кривой второго порядка (6) не содержит слагаемого Вху, то оно приводится к каноническому виду путем выделения полных квадратов. Например, уравнение описывает эллипс, центр которого смещен из начала координат в точку (х₀;у₀).

Пример 1. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданы уравнениями х-у+1=0, х+5у+13=0, 2х+у-1=0.

Решение. Найдем координаты вершин треугольника – точек пересечения данных прямых. Для этого решим три системы уравнений:

Получаем точки А(-3;-2), В(0;1), С(2;-3).

Будем искать уравнение окружности в общем виде, т.е.

(х-а)²+(у-b)²=R².

Поскольку искомая окружность должна быть описана около треугольника АВС, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению окружности. Подставляя поочередно координаты всех трех точек уравнение окружности, получаем три уравнения относительно неизвестных параметров a, b, R: