7.4. Поверхности второго порядка

В общем виде поверхность второго порядка в трехмерном пространстве задается алгебраическим уравнением второго порядка:

.

Как и в случае кривых второго порядка на плоскости, при помощи параллельного переноса и поворота осей системы координат такое уравнение сводится к одному из канонических уравнений, а поверхность принадлежит к одному из типов, описанных ниже (либо вырождается в точку, две прямые, две плоскости или мнимую поверхность).

• Э ллипсоид

На примере эллипсоида опишем процесс построения поверхности. Для этого применяется метод линий уровня, то есть линий пересечения поверхности с плоскостями, параллельными, например, плоскости хОу.

При z=0 (т.е. в плоскости хОу) получаем - эллипс с полуосями a, b.

При z=const, (в плоскостях, параллельных хОу) получаем - эллипсы с полуосями, меньшими чем a, b.

При получаем - точка (0; 0).

При z=const, получаем мнимые эллипсы, то есть пересечений с поверхностью нет.

Итак, линии уровня данной поверхности – эллипсы. Для того, чтобы окончательно выяснить, как выглядит поверхность, найдем пересечения с плоскостями xOz и yOz.

При y=0 получаем - эллипс с полуосями а, с.

При х=0 получаем - эллипс с полуосями b, c.

Однополостной гиперболоид

Двуполостной гиперболоид

Конус

Эллиптический параболоид

• Гиперболический параболоид

• Эллиптический цилиндр

Цилиндрические поверхности – поверхности, образованные прямыми, параллельными некоторой оси. Уравнение такой поверхности не содержит переменной, соответствующей этой оси. Для того, чтобы построить цилиндрическую поверхность, надо построить образующую, которую задает данное уравнение в одной из координатных плоскостей и восстановить над ней цилиндр.

Э ллиптический цилиндр задается уравнением

образующая этой поверхности – эллипс в плоскости xOy и прямые, параллельные оси Oz.

Гиперболический цилиндр

Параболический цилиндр

21