§2. Определители
2.1. Основные понятия
Определитель или детерминант (determinant) квадратной матрицы
порядка n
(или просто определитель n-го
порядка) – это числовая характеристика
этой матрицы, которую обозначают
и вычисляют в соответствии со следующим
определением:
;
(1)
где числа А1j называются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов определителя и вычисляются по формулам:
(2)
где алгебраические дополнения А1j вычисляются аналогично предыдущему.
Вообще, алгебраическим дополнением Аij для элемента аij называется число
,
где Mij
– минор
элемента аij
, то есть определитель, полученный из
вычеркиванием i-й
строки и j-го
столбца
Замечание. Вычисление определителя по формулам (1) и (2) называется разложением определителя по первой строке. Любой определитель может быть вычислен с помощью аналогичного разложения по любой строке или столбцу. Понятно, что для разложения определителя выгодно выбирать ту строку (или столбец), в которой содержится наибольшее количество нулевых элементов (конечно, если они есть).
Пример:
Вычислить определитель
Решение: Поскольку определитель содержит нулевой элемент во второй строке, выберем ее для разложения определителя:
.
2.2. Свойства определителей
1)
Определитель не меняется при его
транспонировании:
.
Отсюда следует, что любые операции со столбцами определителя эквивалентны аналогичным операциям с его строками.
2) Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит знак на противоположный.
3) Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю.
4) Умножение какой-либо строки (столбца) определителя на произвольное число равносильно умножению определителя на это число.
Следовательно, общий множитель элементов фиксированной строки (столбца) можно выносить за знак определителя:
5) Если определитель содержит две одинаковые или
пропорциональные строки, то он равен нулю.
6) Если все элементы какой-либо строки (столбца) представлены в виде суммы, то такой определитель можно представить как сумму двух определителей:
7) Определитель не меняется, если к любой строке (столбцу) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на фиксированное число:
8) Если А и В – квадратные матрицы одного порядка, то
Пример.
Вычислить определитель:
Решение: При разложении данного определителя по любой строке нам придется вычислять 4 определителя 3-го порядка, каждый из которых сводится к трем определителям 2-го порядка, при этом придется оперировать достаточно большими числами. Для упрощения вычислений воспользуемся свойствами 6 и 4:
Для вычисления первого определителя используем свойство 5 (ниже запись l2-2l1 означает, что из элементов второй строки определителя мы вычитаем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 2 и т.п.) и раскладываем определитель по первому столбцу, в котором оказывается три нулевых элемента:
Поскольку вторая строка полученного определителя равна первой, умноженной на 2, то определитель равен 0.
Далее, аналогичным образом применяем свойство 5 для вычисления второго определителя:
.
Таким образом, искомый определитель =0.
Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, в противном случае – невырожденной.