5 .4. Скалярное произведение векторов

• Скалярным произведением двух векторов называется число

(где  - угол между векторами , отложенными из одной точки).

Свойства:

1) для любых векторов

2) для любых векторов и числа 

3) для любых векторов

4)

5) (при этом считается, что нулевой вектор перпендикулярен любому)

6) .

Теорема 5.3. Пусть , . Тогда

.

Доказательство: Воспользуемся разложением векторов по базису и свойствами скалярного произведения:

.

Последнее равенство следует из того, что

(т.к. ) и т.п.

Следствие. .

Замечание. Для векторов на плоскости, соответственно,

и .

Пример 1. Найти угол между векторами

Решение: ,

.

Пример 2. .

Найти .

Решение: Используем свойства скалярного произведения:

.

Пример. Даны точки: А(-2; 1), В(3; 0), С(1; 4). Найти основание высоты треугольника АВС, проведенной из точки В.

Р ешение: Точка N(x_N, y_N)  АС    ;

BN – высота треугольника, то есть   .

Получили два линейных уравнения относительно координат:

 .

Таким образом, искомая точка N(0; 3).

5.5. Векторное произведение

• В екторным произведением двух векторов называется вектор , определяемый следующим образом:

1) , где  - угол между векторами

2)

3) векторы образуют правую тройку векторов.

Свойства:

1) (антикоммутативность);

2) ;

3)

4)  

5) (геометрический смысл векторного произведения):

м одуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах :

Теорема 5.4. Пусть , . Тогда

Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы о скалярном произведении, с поправкой на свойства векторного произведения.

Замечание. Для векторов на плоскости (с двумя координатами) векторное произведение не определено.

Пример. Даны векторы: . Найти высоту параллелограмма, построенного на этих векторах, опущенную из конца вектора .

Р ешение:

Рассмотрим параллелограмм ABCD, построенный на данных векторах. С одной стороны, как известно,

.

С другой стороны, воспользовавшись геометрическим смыслом векторного произведения, имеем: .

Найдем векторное произведение:

,

следовательно, .

Кроме того, найдем

Таким образом, .

5.6. Смешанное произведение

• Смешанным произведением трех векторов называется число, определяемое соотношением .

Из свойств смешанного произведения особый интерес на практике представляет его геометрический смысл:

Т еорема 5.5. Модуль смешанного произведения трех ненулевых векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложенных из одной точки:

.

Следствие. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

Из определения смешанного произведения и теорем о вычислении скалярного и векторного произведений следует следующая теорема:

Теорема 5.6. Пусть , б . Тогда .

Пример. Выяснить, лежат ли точки A(5; 7; -2), B(3; 1; -1),

C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) в одной плоскости.

Решение: Данные точки будут лежать в одной плоскости в том и только том случае, если векторы компланарны, что в свою очередь, равносильно утверждению, что смешанное произведение этих векторов равно 0. Проверим, так ли это.

;

,

следовательно, данные точки лежат в одной плоскости.