§6. Аналитическая геометрия на плоскости

6.1. Уравнения прямых на плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной декартовой системой координат.

• Общее уравнение прямой

У тверждение. Любая прямая на плоскости описывается уравнением линии первого порядка:

Ax+By+C=0 (А²+В²0).

Это значит, что если точка плоскости принадлежит данной прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой и наоборот, если два числа x и y удовлетворяют уравнению прямой, то точка с такими координатами принадлежит соответствующей прямой.

В частности,

если С=0, А0, В0, то прямая проходит через начало координат;

если А=0, В0, С0, то прямая параллельна оси Ох;

если В=0, А0, С0, то прямая параллельна оси Оy;

ось Ох имеет уравнение y=0; ось Оy имеет уравнение х=0.

Д ля того, чтобы написать уравнение прямой, можно использовать различные данные. Соответственно, получаются различные виды уравнения прямой (каждый из которых, тем не менее, можно привести к виду общего уравнения). Собственно, вывод уравнения прямой на плоскости и является доказательством сформулированного выше утверждения.

• Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть известно, что точка Р₀(х₀, y₀) принадлежит прямой, а угол, образованный данной прямой с положительной полуосью Ох, равен . Составим уравнение прямой.

Пусть точка Р(х, y) – произвольная точка, принадлежащая данной прямой. Тогда рассмотрим прямоугольный треугольник :

. Обозначив k=tg, получаем уравнение прямой в виде

y -y₀=k(x-x₀), или y =kx+b (b= y₀+kx₀)

Коэффициент k называют угловым коэффициентом прямой, а точку Р₀ – ее начальной точкой .

• Каноническое уравнение прямой

Пусть точка Р₀(х₀, y₀) – начальная точка прямой, а вектор параллелен прямой (он называется ее направляющим вектором).

Точка Р(х,y) принадлежит данной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Вспомнив свойства координат векторов, запишем это условие в координатной форме:

полученное уравнение называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

• Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Если даны две точки Р₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), принадлежащие прямой, то в качестве направляющего вектора мы можем

в ыбрать вектор и записать каноническое уравнение:

• Нормальное уравнение прямой

Пусть Р₀(х₀, y₀) – начальная точка прямой, а вектор , перпендикулярен данной прямой (тогда его называют нормальным вектором).

Точка Р(х, y) принадлежит данной прямой тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

.

Полученное уравнение называется нормальным уравнением прямой.

• Взаимное расположение прямых на плоскости

Сравнивая различные виды уравнения прямой на плоскости, легко видеть, что, с точностью до постоянного множителя, А=n₁=v₂, B=n₂=-v₁.

Пусть даны две прямые

l₁: A₁x+B₁y+C₁=0 ; l₂: A₂x+B₂y+C₂=0. Тогда:

а) l₁l₂  (в частности, может быть А₁=А₂, В₁=В₂);

б) l₁=l₂  ;

в)

(в частности, может быть В₁=А₂, В₂= -А₁);

г) Точка пересечения прямых определяется системой линейных уравнений:

д) Угол между прямыми равен острому углу между их направляющими векторами, а также острому углу между их нормальными векторами.

Следовательно,

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

l₁: y=k₁x+b₁; l₂ y=k₂x+b₂. Тогда:

а) l₁l₂  k₁=k₂;

б) l₁= l₂  k₁=k₂ и b₁=b₂ ;

в) ;

г) Решив совместно данные уравнения, получаем координаты точки пересечения прямых: ;

д) Если , то угол между прямыми , следовательно:

.

Пример. Дано общее уравнение прямой l: 2x-5y+6=0.

1. выяснить, лежит ли на данной прямой точка А(2; 2);

2. написать для прямой l уравнение с угловым коэффициентом;

3. написать уравнение прямой l₁, параллельной данной и проходящей через точку В(1; -3);

4. найти проекцию точки В на прямую l.

Решение.

1) Точка А лежит на прямой l  координаты точки А удовлетворяют уравнению прямой. Проверим: 22-52+6=0 – верно. Следовательно, точка А принадлежит данной прямой.

2) Для того, чтобы написать уравнение с угловым коэффициентом, выразим из данного общего уравнения у: .

3) Из общего уравнения прямой l найдем координаты вектора . Пусть , тогда  . В частности, можно считать, что . Тогда запишем уравнение прямой l₁ с перпендикулярным вектором, проходящей через точку В: 2(х-1)-5(y+3)=0. Таким образом,

l₁: 2x-5y-17=0.

4) Сначала решим эту задачу на чертеже. Проведем через точку В прямую l₂, перпендикулярную прямой l и найдем пересечение прямых l и l₂.

Найденная точка N и будет искомой проекцией точки В на прямую l. Теперь проделаем те же действия в аналитической форме.

Найдем уравнение прямой l₂. Поскольку , то  ; пусть . Запишем уравнение прямой l₂, проходящей через точку В, с направляющим вектором:

, откуда получаем общее уравнение .

Найдем точку пересечения , решив систему уравнений

Таким образом, искомая точка .