Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
Дано: точки А,В,D,А1; числа a,b; угол φ.
1)Найти
длину вектора
,
если
-единичные
векторы, угол между которыми равен φ.
2)Найти
координаты точки М, делящей вектор
в отношении
.
3)Проверить
могут ли векторы
и
образовывать параллелограмм, являясь
его сторонами. Найти длины этих сторон.
4) Найти углы между диагоналями параллелограмма ABCD.
5) Найти площадь параллелограмма ABCD.
6)
Убедиться, что векторы
,
и
могут
образовывать параллелепипед, являясь
его ребрами. Найти объем этого
параллелепипеда и длину его высоты.
7)
Найти координаты вектора
,
являющегося высотой параллелепипеда,
проведенной из точки А к плоскости
основания A1
B1
C1
D1;
координаты точки Н и координаты единичного
вектора, совпадающего по направлению
с вектором
.
8) Найти разложение вектора по векторам , и .
9) Найти проекцию вектора на вектор .
10) Написать уравнения плоскостей:
а) Р – проходящей через точки А,В,D;
б) Р1 – проходящей через точки А и прямую А1В1
в) Р2 – проходящей через точки А1 параллельно плоскости Р;
г) Р3 – содержащей прямые АD и АА1;
д)Р4 – проходящей через точки А и С1 перпендикулярно плоскости Р.
11) Найти расстояние между прямыми, на которых лежат ребра АВ и СС1;
написать каноническое и параметрическое уравнения общего к ним перпендикуляра.
12) Найти точку А2, симметричную точке A1 относительно плоскости основания АВСD.
ВАРИАНТ № |
А |
B |
D |
A1 |
a |
b |
φ |
1 |
1,0,0 |
1,2,0 |
0,1,0 |
0,1,2 |
5 |
-6 |
0 |
2 |
2,-1,3 |
3,-2,2 |
2,2,3 |
2,0,1 |
1 |
-1 |
π/6 |
3 |
1,0,1 |
1,2,3 |
0,1,0 |
1,0,2 |
2 |
1 |
π/2 |
4 |
1,1,1 |
0,1,0 |
0,2,1 |
2,0,3 |
3 |
2 |
2 π/3 |
5 |
0,0,-1 |
0,1,0 |
0,2,-3 |
1,0,2 |
4 |
1 |
11 π/6 |
6 |
2,0,1 |
3,-1,1 |
2,2,1 |
0,-2,3 |
5 |
-3 |
5 π/6 |
7 |
0,1,0 |
1,0,0 |
0,3,0 |
-1,2,2 |
6 |
1 |
7 π/6 |
8 |
3,-2,2 |
3,1,2 |
2,-1,3 |
3,-1,0 |
7 |
3 |
11 π/6 |
9 |
1,2,3 |
0,3,2 |
1,0,1 |
1,2,4 |
8 |
2 |
3 π/2 |
10 |
0,1,0 |
-1,2,0 |
1,1,1 |
1,0,2 |
9 |
-4 |
4 π/3 |
11 |
0,1,0 |
0,3,-2 |
0,0,-1 |
1,1,3 |
10 |
1 |
π/6 |
12 |
3,-1,1 |
3,1,1 |
2,0,1 |
1,-3,3 |
7 |
2 |
π |
13 |
0,3,0 |
0,1,0 |
1,2,0 |
-1,4,2 |
12 |
1 |
π/3 |
14 |
3,1,2 |
2,2,3 |
3,-2,2 |
3,2,0 |
13 |
-4 |
4 π/3 |
15 |
0,3,2 |
0,1,0 |
1,2,3 |
0,3,3 |
14 |
-1 |
5 π/6 |
16 |
-1,2,0 |
0,2,1 |
0,1,0 |
0,1,2 |
15 |
1 |
7 π/6 |
17 |
0,3,-2 |
0,2,-3 |
0,1,0 |
1,3,1 |
16 |
2 |
π/3 |
18 |
3,1,1 |
2,2,1 |
3,-1,1 |
1,-1,3 |
17 |
-3 |
π/4 |
19 |
1,2,0 |
0,3,0 |
1,0,0 |
0,3,2 |
18 |
2 |
π/3 |
20 |
2,2,3 |
2,-1,3 |
3,1,2 |
2,3,1 |
19 |
-2 |
5 π/3 |
Линии второго порядка. Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду, определить тип этой линии и начертить ее
Вариант 1.
x2 – 2xy + y2–10x – 6y+ +25 = 0
Вариант 2.
xy + x + y = 0
Вариант 3.
5x2 + 8xy+5y2 –18x–18y + 9 = 0
Вариант 4.
5x2 + 6xy+5y2 – 16x–16y – 16 = 0
Вариант 5.
x2 + 2xy + y2–8x + 4 = 0
Вариант 6.
5x2 + 4xy+8y2 – 32x–56y + 80 = 0
Вариант 7.
5x2 + 12xy–22x – 12y–19 = 0
Вариант 8.
4x2 – 12xy+9y2 – 2x+3y – 2 = 0
Вариант 9.
4xy + 3y2+16x + 12y–36 = 0
Вариант 10.
2x2 + 4xy+5y2 – 6x–8y – 1 = 0
Вариант 11.
x2 – 2xy + y2–10x – 6y+ +25 = 0
Вариант 12.
xy + x + y = 0
Вариант 13.
5x2 + 8xy+5y2 –18x–18y + 9 = 0
Вариант 14.
5x2 + 6xy+5y2 – 16x–16y – 16 = 0
Вариант 15.
x2 + 2xy + y2–8x + 4 = 0
Вариант 16.
5x2 + 4xy+8y2 – 32x–56y + 80 = 0
Вариант 17.
5x2 + 12xy–22x – 12y–19 = 0
Вариант 18.
4x2 – 12xy+9y2 – 2x+3y – 2 = 0
Вариант 19.
4xy + 3y2+16x + 12y–36 = 0
Вариант 20.
2x2 + 4xy+5y2 – 6x–8y – 1 = 0