2.3. Неявна магніто-механічна характеристика узагальненого електромеханічного перетворювача енергії
Явну зовнішню ММХ можна встановити для більшості типів ЕМПЕ тільки за умови, якщо знехтувати насиченням магнітопроводу, тобто, якщо покласти, що характеристики намагнічування матеріалів магнітопроводу є лінійними однорідними функціями. Якщо ж необхідно врахувати насичення, то отримати явну ММХ вдається тільки при деяких, як правило, досить грубих допущеннях, і точність обчислення потокозчеплень та електродинамічних сил за відомими струмами і переміщеннями при користуванні такою ММХ часто не задовільняє вимогам практики.
Тому значно частіше доводиться використовувати так звану неявну магніто-механічну характеристику ЕМПЕ. З’ясуємо математичну сутність неявної ММХ.
Якщо для конкретного ЕМПЕ задавати струми і переміщення, то, як вказувалось в підрозділі 2.2, їм відповідає певне (однозначне) магнітне поле. Його можна розрахувати з наперед заданою точністю одним з відомих чисельних методів, або, як це прийнято говорити, змоделювати магнітне поле ЕМПЕ на заданому рівні адекватності.
Найпростіше (але водночас, й найменш точно) можна розрахувати магнітне поле ЕМПЕ, замінивши його магнітопровід магнітним колом. Тут кількісною характеристикою магнітного поля є магнітні потенціали вузлів цього кола (чи магнітні напруги на ділянках магнітного кола) та магнітні потоки його гілок. Рівень адекватності при такому способі моделювання можна нарощувати шляхом все більшої деталізації елементів магнітопроводу і, отже, шляхом збільшення кількості вузлів та гілок магнітного кола, що заміняє магнітопровід. Але при цьому зростатиме й кількість потенціалів вузлів та потоків гілок, що описують стан магнітопроводу. Граничні можливості такого способу з погляду точності результатів моделювання є обмежені.
Будь-яку наперед задану точність моделювання магнітного поля ЕМПЕ з урахуванням неоднорідності, нелінійності та анізотропії магнітних середовищ забезпечують сітковий метод та метод скінченних елементів. В обидвох методах результатом розрахунку поля є визначення магнітного потенціалу або вектора магнітної індукції чи вектора напруженості магнітного поля на множині точок, нанесених на область розрахунку поля, які називають вузлами. Підвищення точності розрахунку поля досягається збільшенням густини розташування вузлів і, отже – їх кількості. Але при цьому зростає й кількість рівнянь з невідомими величинами, що характеризують поле, а разом з цим – і затрати на виконання розрахунку (машинний час). На практиці саме цей чинник визначає граничну точність розрахунку поля, яку вдається досягнути (чи яку доцільно досягати).
При застосуванні будь-якого із згаданих методів задача розрахунку магнітного поля ЕМПЕ зводиться до формування та розв’язання лінійної САР
(2.8)
де
є шуканими величинами, які характеризують
магнітне поле на прийнятому рівні
адекватності його моделювання, а струми
та переміщення
є заданими. Надалі величини
називатимемо внутрішніми магнітними
координатами (ВМК). Систему (2.8) називатимемо
неявною внутрішньою магніто-механічною
характеристикою ЕМПЕ, оскільки вона
пов’язує між собою (у вигляді неявних
функцій) внутрішні магнітні координати
з переміщеннями (що характеризують
внутрішній стан ЕМПЕ) та струмами (що
створюють магнітне поле).
У переважній більшості випадків систему (2.8) не вдається ров’язати аналітично, але її завжди можна розв’язати чисельно (наприклад методом Ньютона), причому при кожній конкретній сукупності значень струмів і переміщень розв’язок системи (2.8) є єдиним (бо в протилежному випадку могло б існувати декілька різних магнітних полів при заданих струмах і переміщеннях, що, як відомо з фізики, неможливо). Таким чином, існує сукупність однозначних залежностей (функцій)
;
(2.9)
її називатимемо явною внутрішньою ММХ ЕМПЕ, оскільки функції (2.9) є явними.
Зауважимо, що при моделюванні ЕМПЕ, для яких систему (2.8) не вдається розв’язати аналітично, явна внутрішня ММХ (2.9) ніколи не використовується, однак факт існування такої сукупності явних функцій має істотне практичне призначення.
Якщо для ЕМПЕ при заданих струмах і переміщеннях магнітне поле розраховано (шляхом розв’язання системи (2.8)), то потокозчеплення його електричних контурів можна обчислити за формулами виду:
;
(2.10)
які завжди можна скласти на підставі законів електротехніки безпосередньо, тобто без необхідності розв’язування якої-небудь системи рівнянь.
Якщо для ЕМПЕ при заданих струмах і переміщеннях магнітне поле розраховано (шляхом ров’язання системи (2.8)), то узагальнені електродинамічні сили можна обчислити за формулами виду:
;
(2.11)
які також завжди можна скласти безпосередньо на підставі законів електротехніки.
Рівняння (2.8) разом з формулами(2.10), (2.11) називатимемо неявною магніто-механічною характеристикою ЕМПЕ. Вона дозволяє для довільної сукупності значень струмів і переміщень ЕМПЕ розрахувати його магнітне поле (шляхом розв’язання системи (2.8)), після чого за формулами (2.10), (2.11) обчислити потокозчеплення та електродинамічні сили.
Об’єднавши ВМК у вектор-стовпець
, (2.12)
представимо явну внутрішню ММХ (2.9) узагальненого ЕМПЕ з урахуванням позначень (2.3), (2.6) як векторну функцію:
, (2.13)
а його неявну ММХ (2.8), (2.10), (2.11) – як
; (2.14)
; (2.15)
. (2.16)
Як випливає з (2.8), (2.10), (2.11), неявна ММХ узагальненого ЕМПЕ в скалярному записі складається з q+n+p скалярних рівнянь і містить 2(n+p)+q – n струмів, p переміщень, n потокозчеплень, p електродинамічних сил і q ВМК; з них незалежними є n+p змінних (струми і переміщення), а залежними – q+n+p змінних (ВМК, потокозчеплення й електродинамічні сили). У векторному записі неявна ММХ складається