1.3.2. Вещественные числа и их форматы

Вещественные числа возникли из-за ограничений рациональных чисел в представлении непрерывно изменяющихся (аналоговых) величин. Оказалось, например, что диагональ квадрата со стороной, выраженной рациональным числом, нельзя представить в виде рационального числа. Вещественные числа являются мерой непрерывных величин. Они задаются в виде мантиссы и порядка:

[-]iii.ddddd10^[-]p или иногда [-]iii.dddddE^[-]p,

где [-] - не обязательный унарный минус, iii.ddddd - мантисса числа с разделительной десятичной точной, iii - целая часть мантиссы, ddddd - дробная часть мантиссы, p - порядок числа (в виде целого числа, включая 0).

Примеры задания вещественных числ: 1.23*10^-5, 1.23E5, 123.4567E-10 (в Mathcad символ E для указания порядка не применяется).

Вещественные числа могут быть представлены в различных форматах - нотациях. В Mathcad для этого служит панель форматирования чисел, представленная на рис. 1.14 справа. В ней видны наименования форматов чисел.

Десятичные числа с фиксированной запятой (или точкой) обычно используются в финансово-экономических и некоторых иных видах расчетов. К примеру, любая сумма денег может быть представлена в виде суммы рублей Р и копеек K, будучи записанной в виде P,K (например 95,34 рубля, что означает 95 рублей и 34 копейки) или Р.К.

В математике при записи чисел принято использовать разделительную запятую, тогда как в информатике обычно разделителем выступает точка (дабы исключить восприятие запятой в ее общепринятом понимании). Поэтому понятия чисел с фиксированной точкой и с фиксированной запятой идентичны. Мы будет далее говорить о таких числах, как о числах с фиксированной точкой. Недостаток таких чисел - малый диапазон представляемых ими значений N: p^-sNp^m-p^-s. Поэтому числа в таком формате применяются редко.

Десятичные числа с плавающей точкой (их часто определяют опцией float) характерны возможностью изменения положения разделительной точки. Например, 1.23456*10⁵, 12.3456*10⁴, 123.456*10³ и 1234560*10^-1 представляют одно и то же число 123456 в форме чисел с плавающей точкой (floating point).

В общем случае такие числа содержат мантиссу M и порядок p и записываются в виде

N=Mp^r.

Десятичные числа с нормализованной мантиссой или числа с научной нотацией. У таких чисел мантисса нормализуется, так что до разделительной точки может быть только одна цифра (от 0 до 9). Так, число 123 в этом случае будет представлено в виде 1.2310², а число 123456 – как 1.2345610⁵. Еще чаще задается |M|<1, так что число 123456 будет представлено как .12345610⁶.

Главное достоинство такой формы представления чисел - большой диапазон их значения:

.

Благодаря этому именно этот формат чисел применяется наиболее часто в научно-технических расчетах.

Вещественные числа всегда имеют некоторую погрешность представления результатов из-за неизбежного округления их и существования так называемого машинного нуля - наименьшего числа, которое воспринимается как нуль.

Числа в инженерной нотации характерны тем, что порядок их равен 0 или кратен 3. Они часто применяются в физических расчетах, где часто размерные величины имеют кратность порядка, равную трем (например, 1 г – это тысячная доля килограмма, 1 мс – это тысячная доля секунды, 1 мл – это тысячная доля одного литра и т.д.). Так, число 1234 в такой нотации будет иметь вид 1.23410³, а 12345 – 12.34510³. Нетрудно заметить, что в данном случае положение десятичной точки в мантиссе не фиксировано.

Рациональные числа (rational или fraction) задаются отношением целых чисел, например, 7/9, -123/127 и т. д. Результаты арифметических операций над рациональными числами всегда являются также рациональными числами. В Mathcad 2001/2001i/11 есть возможность задать вывод результатов вычислений в рациональной форме.