1.3. Постановка задачи

Продукты или услуги, предлагаемые компаниями на рынке, можно сравнивать и упорядочивать не только по таким объективным характеристикам, как, например, цена, качество и тому подобное, по их популярности, по тому, какой предпочтительнее. Компании, учитывая предпочтения покупателей, предлагают свои продукты или услуги в соответствии с требованиями рынка. При этом различные группы потребителей в отношении одних и тех же продуктов или изделий могут иметь различные предпочтения.

Исследуем компании, упорядочивающие по степени важности для их бизнеса предлагаемые четыре вида программного обеспечения: программное обеспечение для ведения бухгалтерского учета первого вида БПО₁ (направленности, например, для малых предприятий), программное обеспечение для ведения бухгалтерского учета второго вида (БПО₂), программное обеспечение для управления складскими запасами первого вида (СПО₁) и программное обеспечение для управления складскими запасами второго вида (СПО₂). Предположим, что по данным проведенного обследования некоторый контингент потенциальных клиентов оказался разделенным на четыре группы, установившие порядки предпочтения, описываемые таблицей 1.1.

Таблица 1.1

Номер группы	Предпочтительность по порядку для группы
1 2 3 4	СПО2, БПО2, СПО1, БПО1 БПО2, СПО1, БПО1, СПО2 СПО1, БПО1, СПО2, БПО2 БПО1, СПО2, БПО2, СПО1

Пусть при этом оказалось, что группы потенциальных покупателей, придерживающихся порядков предпочтения 1, 2, 3 и 4, составляют соответственно 10, 20, 30 и 40 процентов от общего числа покупателей, а покупатели, выбравшие иные порядки предпочтения, отсутствуют. (Подчеркнем, что эти предположения составляют условия задачи, и будем соблюдать их при ее решении.)

Можно ли в описанных условиях устанавливать какое-либо разумное упорядочение по предпочтению для рассматриваемого нами контингента покупателей в целом? Можно ли хотя бы выбрать программное обеспечение, разработка которого удовлетворила бы покупателей в наибольшей степени?

Пусть проведено голосование «на лучшее программное обеспечение» (по функциональности для конкретного пользователя, цене, пользовательскому интерфейсу и т. д.). По правилу относительного большинства перевес, очевидно, даст БПО₁, которое соберет 40 % голосов. Ближайший конкурент, СПО₁, соберет лишь 30 % голосов.

Однако сторонники СПО₁ могут поставить на голосование вопрос: какое программное обеспечение из двух лучше, БПО₁ или СПО₁? Из табл. 1.1 порядков видно, что за СПО₁ при сравнении с БПО₁ будут голосовать 1, 2 и 3-я группы, и всего за это программное обеспечение будет подано 60 % голосов против 40 %, поданных за БПО₁. Далее нам понадобится рассматривать различные голосования такого типа, поэтому для удобства читателей мы вычислим впрок результаты и сведем их в «турнирную» таблицу 1.2.

Таблица 1.2

	БПО1	СПО1	БПО2	СПО2
БПО1	Х	40 %	70 %	90 %
СПО1	60 %	Х	30 %	50 %
БПО2	30 %	70 %	Х	20 %
СПО2	10 %	50 %	80 %	Х

Но борьба мнений может и не ограничиться сравнением СПО₁ с БПО₁. Покупатели, предпочитающие БПО₂, могут потребовать сравнения голосованием своего фаворита с только что победившим СПО₁. В этом голосовании 1, 3 и 4-я группы, составляющие 70 % голосов, выскажутся за БПО₂ и лишь 30 % за СПО₁.

Но и БПО₂ нельзя считать окончательным победителем. При его сравнении голосованием с СПО₂ в пользу БПО₂ выскажутся лишь 20 % покупателей, а за СПО₂ – все остальные, т. е. 80 %.

Наконец, сравнение СПО₂ с самым первым фаворитом, БПО₁, приводит к уверенной победе последнего: 90 % против 10 %. Но тогда сложится ситуация, когда снова не согласятся приверженцы СПО₁, и вся история повторится сначала.

Таким образом, определение лучшего варианта путем последовательных голосований может приводить к противоречиям. Это несколько неожиданное явление было обнаружено еще в XVIII веке; его исследовал Кондорсе.

В данной ситуации не прояснит вопроса о «лучшем» программном обеспечении и попытка осуществить голосование по так называемой «олимпийской» системе. Из табл. 1.2 видно, что при объединении «в предварительные подгруппы» программного обеспечения, не имеющего общих признаков, мы получаем следующую схему розыгрыша:

Если же в предварительные подгруппы объединить программное обеспечение по признаку «направленность» (бухгалтерия и склад), то картина будет иной:

При этом никакие «перебаллотировки» последнего «ничейного» счета не изменят, ибо он связан не со случайностями борьбы, а с зафиксированными мнениями голосующих. Мы интересуемся как раз выбором «лучшего», по мнению покупателей, программного обеспечения на основе этого мнения.

Наконец, объединение программного обеспечения в предварительные группы по их номеру (1 и 2) дает нам победу БПО₁ в полуфинале бухгалтерского программного обеспечения и ничью в полуфинале складского программного обеспечения. Как отмечалось ранее, ничья сама по себе «неразрешима». В этой связи напрашивается вывод: сравнивать БПО₁ последовательно с обеими системами программного обеспечения для склада (то обстоятельство, что при этом одна из рассматриваемых систем программного обеспечения участвует в большем числе сравнений, чем другие, не изменит в отличие от многих спортивных состязаний их шансов на победу; мы предполагаем, что в результате голосования относительные преимущества программных обеспечений не изменяются). Но исход в этом случае будет опять-таки зависеть от порядка сравнений:

Попытаемся определить победителя среди рассматриваемых систем программного обеспечения, используя табл. 1.2, как будто она является таблицей матч-турнира, а приведенные в ней проценты суть очки, полученные программным обеспечением при его сравнении с каждым из остальных. Будем определять победителя по сумме набранных очков.

При таком подсчете БПО₁ займет I место с 200 очками, обе СПО разделят II – III места со 140 очками каждая, а на последнем, IV, месте будет БПО₂, набравшее лишь 120 очков.

Вспомним, однако, что цель наших рассуждений принципиально отличается от рассмотрения таблицы реального матч-турнира, скажем, шахматистов. В данном случае речь идет об определении победителя в некотором совершенно определенном виде соревнования (в условия которого входят и жеребьевка, определяющая очередность встреч, и временной регламент ходов в каждой партии, и, наконец, календарное расписание туров), а вовсе не об объективном присуждении титула «лучшего шахматиста» среди участников турнира или матч-турнира. Здесь мы как раз заинтересованы в определении лучшего программного обеспечения, а отнюдь не того, которое соберет наибольшее число очков по тем или иным нами же придуманным правилам.

После подведения итогов такого турнира видно, что БПО₂ оказалось явным «аутсайдером», и поэтому исключим его из дальнейшего рассмотрения, а будем сравнивать оставшиеся системы программного обеспечения в следующем турнире. Таблица этого турнира получается из табл. 1.2, если вычеркнуть из нее строку и столбец, соответствующий БПО₂. В этом турнире победителем по-прежнему будет БПО₁ с 130 очками, II место достанется СПО₁ со 110 очками, а на последнем месте окажется СПО₂, у которого будет только 60 очков. По итогам второго турнира следует отбросить СПО₂ и определить окончательного победителя в третьем турнире (фактически это будет уже матч) с участниками БПО₁ и СПО₁. Но в нем победу одержит СПО₁, что, однако, противоречит результатам первых двух турниров.

Итак, в условиях заданных различных предпочтений обычные подходы к определению наилучшего программного обеспечения могут и не привести к цели. Это свидетельствует о том, что может оказаться полезной модификация самого понимания «наилучшего», «оптимального». Возможна, например, следующая точка зрения.

Поставим вопрос о том, выбор какого программного обеспечения или каких нескольких систем программного обеспечения естественно считать наилучшим, оптимальным.

Во-первых, среди этих систем программного обеспечения (если их несколько) не должно быть предпочитаемых. Данное свойство выбранного множества систем программного обеспечения назовем его внутренней устойчивостью. По существу оно означает, что после оптимального выбора противопоставление хорошего лучшему должно быть исключено.

Во-вторых, каждое программное обеспечение из числа тех, которые мы не сочли оптимальными, должно предпочитаться некоторому программному обеспечению из числа выбранных (оптимальных). Это свойство выбираемого множества называется его внешней, устойчивостью (всякому отклонению от установленного оптимума можно противопоставить вариант, данному оптимуму принадлежащий).

Подобные «оптимальные множества», обладающие свойствами внутренней и внешней устойчивости, встречаются во многих разделах математики (имея различные названия). В теории игр их принято называть решениями по Нейману – Моргенштерну или Н-М-решениями (Воробьев Н.Н.).

В случае рассматриваемой задачи Н-М-решение состоит в выборе обеих СПО: внутренняя устойчивость этой пары систем программного обеспечения проявляется в цифрах 50 % и 50 % турнирной таблицы, а внешняя – в том, что альтернативе в виде БПО₁ успешно будет противостоять СПО₁, а альтернативе в виде БПО₂ – СПО₂. Иных Н-М-решений в этой задаче быть не может, так как нет других внутренне устойчивых пар (единственное программное обеспечение должно было качественно превосходить каждое из остальных). Такого программного обеспечения, как мы видели, в условиях нашей задачи нет [3].

Рассмотренный выше вопрос о том, какое программное обеспечение является наилучшим, лишен смысла, так как необходимо пояснить, какое содержание вкладывается в само понятие оптимальности. Но во «Введении» было сказано, что в этом и состоит первый основной вопрос теории игр.