5.6. Игра с тремя игроками. Устойчивость

1. Продолжим рассмотрение игры из предыдущего раздела для случая и . Как было выяснено, справедливая доля для предприятия «Чайка» в этом случае равна 500, для предприятия «Утро» ‑ 300 и поэтому для предприятия «Сокол» ‑ 1200. Допустим, что «Сокол» берет на себя составление комплектов программных продуктов, вступает в кооперацию с предприятием «Чайка» и заказывает этому предприятию 900 БПО, которые оно в состоянии поставить. Предположим, за эту выгодную для предприятия «Чайка» комбинацию «Сокол» запрашивает с него 175. В итоге «Сокол» получает 900 (от реализации программных продуктов) + 175 (от предприятия «Чайка») = 1075, а «Чайка» ‑ 900 (от реализации программных продуктов) ‑ 175 (предприятию «Сокол») = 725.

Очевидно, что «Сокол» и «Чайка», не выходя за пределы своих производственных возможностей, увеличили свои выигрыши по сравнению со справедливыми долями. Безусловно, это произошло за счет предприятия «Утро». Но для нас важно, что увеличение выигрышей предприятий «Чайка» и «Сокол» происходит не в результате прямого использования ресурсов предприятия «Утро», а за счет его частичного отстранения от сделки. Таким образом, справедливые дележи в рассматриваемой игре не являются устойчивыми. Зададимся целью определить устойчивые дележи (которые, к сожалению, уже не будут справедливыми).

2. Обозначим через , и доли, которые в некотором дележе получат соответственно «Чайка», «Утро» и «Сокол».

Из условий игры следует, что «Сокол» может заказать предприятию «Чайка» N_Ч БПО. От реализации, комплектов с этим программным обеспечением обе стороны получат по N_Ч. Если 2N_Ч будет больше, чем , то предприятия «Сокол» и «Чайка» смогут разделить 2N_Ч так, чтобы «Сокол» получил больше, чем , а «Чайка» больше, чем . Таким образом, в этом случае для предприятий «Сокол» и «Чайка», во-первых, выгодно выступить против дележа, в котором они получат доли и , a, во-вторых, они имеют технико-экономические возможности это сделать: им достаточно вступить между собой в соглашение и получить 2N_Ч. Следовательно, дележ с долями и не будет устойчивым.

Из сказанного видно, что для устойчивости дележа необходимо, чтобы было:

(5.4)

Другим необходимым условием является такое же неравенство, касающееся долей предприятий «Сокол» и «Утро»:

(5.5)

Очевидно, что если эти условия выполнены, то дележ будет устойчивым, ибо третья комбинация предприятий («Чайка» и «Утро»), не в состоянии выпустить ни одного комплекта программных продуктов. Их объединение против предприятия «Сокол» ничего не сможет им дать (поэтому такого объединения не возникнет).

3. Для более наглядного описания дележей, удовлетворяющих неравенствам (5.4) и (5.5), удобно прибегнуть к геометрической иллюстрации. Будем откладывать доли предприятий по трем осям координат (рис. 5.1).

Поскольку для любого дележа

(5.6)

и числа , и неотрицательны, каждому дележу будет соответствовать некоторая точка большого треугольника, и наоборот.

Устойчивые дележи, т. е. дележи, удовлетворяющие неравенствам (5.4) и (5.5), соответствуют точкам густо заштрихованного параллелограмма. В теории игр это множество устойчивых дележей называется ядром, или, точнее, С-ядром.

На рис. 5.1 прямые в треугольнике проведены таким образом, что , . Крестиком помечена точка, соответствующая справедливому дележу.

Рис 5.1

Сделаем по поводу устойчивых дележей три замечания.

Чем больше числа и (т. е. чем ближе каждое из них к 1000), тем меньше в соответствующем направлении станет заштрихованный параллелограмм устойчивых дележей. Это обстоятельство может выглядеть неожиданным в том же смысле, что и аналогичный факт, отмеченный в связи со справедливым дележом (рост производственных возможностей предприятий «Чайка» и «Утро» уменьшает их доли в устойчивых дележах).

Далее, С-ядро состоит из большого (даже бесконечного) числа дележей, поэтому выбор из них «самого устойчивого», «самого оптимального» представляет собой дальнейшую задачу (которая в данном пособии не рассматривается). С-ядро, очевидно, обладает внутренней устойчивостью: ни от одного дележа из С-ядра невозможно перейти к более предпочтительному. Внешней устойчивостью С-ядро, однако, не обладает: существуют дележи, не принадлежащие С-ядру, вполне конкурентоспособные с дележами из С-ядра, т. е. такие, что переходы от них к каким-либо дележам из С-ядра не сопровождаются увеличением доли предприятия «Сокол» и хотя бы одного предприятия, производящего БПО. Такие дележи составляют редко заштрихованный треугольник.

Чтобы дополнить С-ядро до внешне устойчивого множества, т. е. превратить его в Н-М-решение, можно присоединить к нему «хвост» наподобие изображенного на рис. 5.1, идущий в пределах редко заштрихованного треугольника и отклоняющийся по своему направлению в каждой своей точке от высоты треугольника не более чем на 30°. Такой «хвост» можно присоединить к С-ядру (очевидно, существует большое число способов). Поэтому не только каждое Н-М-решение состоит из большого числа дележей, но и самих Н-М-решений в игре может быть очень много.

Наконец, бывают игры, где устойчивые дележи отсутствуют. В качестве примера рассмотрим игру, в которой, как и ранее, , , но, кроме того, предприятия «Чайка» и «Утро» способны, не прибегая к поставкам СПО со стороны предприятия «Сокол», выпустить за счет использования малоэффективного оборудования и технологии 500 комплектов программных продуктов.

В такой игре ни один дележ не будет устойчивым, т. е. не будет входить в С-ядро. Условиями устойчивости являются неравенства (5.4) и (5.5), которые в данном случае приобретают вид , , и аналогичное неравенство, касающееся долей предприятий «Чайка» и «Утро»: (ибо по сделанному предположению 500 комплектов программных продуктов они могут изготовить и без участия предприятия «Сокол»). Складывая эти три неравенства почленно, получаем , чего, однако, быть не может, так как согласно выражению (5.6) левая часть неравенства равна 4000.

Очевидно, что принцип оптимальности, состоящий в устойчивости дележей, может в некоторых играх оказываться нереализуемым.