![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •3.1. Основы теории 41
- •5.1. Основы теории 68
- •6.1. Основы теории 94
- •Библиографический список…………………………………………………….116 введение
- •1. Предмет, задачи теории игр. Классификации игр
- •1.1. Предмет, задачи теории игр
- •1.2. Классификации игр
- •1.3. Постановка задачи
- •2. Антагонистические игры
- •2.1. Основы теории
- •2.2. Антагонистическая игра с полной информацией
- •2.3. Антагонистическая игра без информации. Смешанные стратегии
- •3. Многошаговые игры
- •3.1. Основы теории
- •3.2. Многошаговые (позиционные) игры с полной информацией
- •3.3 Игра с выжиданием
- •4. Неантагонистические (биматричные) игры
- •4.1. Бескоалиционная игра в нормальной форме
- •4.2. Биматричные игры. Основы теории
- •4.3. Решение биматричной игры
- •5. Кооперативные игры
- •5.1. Основы теории
- •5.2. Арбитражные схемы
- •5.3. Классические кооперативные игры
- •5.4 Кооперативные игры с бесконечным числом игроков
- •5.5 Игра с тремя игроками. Справедливые дележи
- •5.6. Игра с тремя игроками. Устойчивость
- •6. Бескоалиционные игры
- •6.1. Основы теории
- •6.2. Задача, касающаяся рекламы
- •6.3. Диадические игры. Пример: экологический конфликт
- •6.4. Пример. Справедливое распределение штрафа
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Теория игр Реализация игрового подхода в управлении фирмой
- •195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.
5.2. Арбитражные схемы
1. Природа и структура арбитражных схем. Большинство неантагонистических конфликтов в экономике и смежных с ней областях характеризуются тем, что их участники могут путем кооперирования объединять свои усилия. Сотрудничество между игроками приводит к качественно новому конфликту по сравнению с бескоалиционным вариантом.
В бескоалиционных играх отклонение одного из участников от ситуации равновесия не дает ему никакого преимущества. Однако при отклонении нескольких игроков эти игроки могут получить больший выигрыш, нежели в ситуации равновесия. В связи с этим в условиях, в которых возможна кооперация между игроками, принцип равновесия не оправдывает себя. Так, например, пусть неантагонистическая игра двух лиц задается двумя матрицами:
,
.
В
этой игре
,
и
,
поэтому ситуациями приемлемыми для
игрока 1, будут ситуации вида
при произвольном
.
Аналогично для игрока 2 приемлемыми
ситуациями будут ситуации вида
при произвольном
.
Следовательно, здесь единственной
ситуацией равновесия оказывается
ситуация (0, 0), в которой каждый из игроков
выбирает свою вторую чистую стратегию
и выигрывает единицу. Вместе с тем
очевидно, что если игроки договариваются
и выбирают свои первые чистые стратегии,
то в ситуации (1, 1) каждый из них выигрывает
по пять единиц. Однако ясно, что ситуация
(1, 1), которая может сложиться при
возможности кооперирования, является
весьма неустойчивой, так как каждый
игрок, изменяя в ней произвольным образом
свою стратегию, увеличивает свой выигрыш.
Итак, при возможности кооперирования возникает противоречие между устойчивостью ситуации, выражаемой в виде равновесности, и ее целесообразностью – стремлением игроков к большим выигрышам. Это противоречие может разрешаться путем расширения множеств уже имеющихся стратегий на основе тех или иных стратегий между игроками. В частности, игроки могут выбирать свои стратегии совместно, договариваясь между собой. В результате множество ситуаций в смешанных стратегиях будет множеством всех вероятностных мер на множестве всех ситуаций в чистых стратегиях. Напомним, что при отсутствии соглашений между игроками множество ситуаций в смешанных стратегиях являлось произведением вероятностных мер, заданных на чистых стратегиях каждого из игроков.
Обозначим
через U
множество всевозможных векторов
выигрышей игроков в игре n
лиц при применении ими всех смешанных
стратегий, заданных на множестве всех
ситуаций в чистых стратегиях. Множество
U
содержится в евклидовом пространстве
Rn
и является выпуклым, так как в
рассматриваемом случае функция выигрыша
каждого из игроков - линейная функция
относительно совместной стратегии
игроков, а множество их стратегий
является выпуклым. Если предположить
непрерывность функции выигрыша на
множестве всех ситуаций в чистых
стратегиях и компактность этого
множества, то множество всех выигрышей
будет также замкнуто и ограниченно, а
поэтому компактно. Таким образом, при
возможности кооперирования и некоторых
предположениях о первоначальной
бескоалиционный игре игроки имеют перед
собой некоторое замкнутое ограниченное
и выпуклое подмножество
.
Это множество называется допустимым
множеством.
Действуя совместно, игроки могут получить
в качестве вектора выигрышей любой
вектор
.
Пусть
– значение антагонистической игры, в
которой все игроки играют против игрока
i,
т. е. стараются минимизировать его
выигрыш, не обращая внимания на свои
интересы. Обозначим через
вектор, компоненты которого
можно интерпретировать как выигрыши
игроков в том случае, когда они не придут
к соглашению. Вектор
называют точкой
status
quo.
Определение
5.5.
Тройку
,
где
,
,
– множества игроков, будем называть
арбитражной
схемой.
Очевидно, игроки (или арбитр) должны руководствоваться некоторыми объективными представлениями о «справедливости» (принцип оптимальности).
2.
Принцип оптимальности Нэша для общих
арбитражных схем.
Сформулируем для арбитражных схем
аксиомы
5.1-5.6,
которым должно удовлетворять правило
,
сопоставляющее каждому выпуклому
замкнутому подмножеству U
и точке
точку
.
Аксиома 5.1. Реализуемость: .
Аксиома
5.2.
Индивидуальная рациональность:
.
Аксиома
5.3.
Оптимальность по Парето: если
и
,
то
.
Аксиома
5.4.
Независимость от посторонних альтернатив:
если
и
,
то
.
Аксиома
5.5.
Линейность: если множество
получается из U
с помощью линейного преобразования, т.
е.
,
а
,
то
.
Аксиома
5.6. Симметрия:
пусть
– произвольная перестановка игроков,
для которой
следует
.
Пусть также
,
.
Тогда
.
Первые
три аксиомы несомненно разумны, и
комментарии излишни. Аксиома 5.4 означает,
что, имея большие возможности для выбора
,
игроки согласятся на этот же вектор
выигрышей при меньших возможностях,
если этот вектор допустим. Аксиома
линейности утверждает, что в разных
шкалах измерения полезностей игроки
руководствуются одинаковым принципом
оптимальности при выборе
.
Шестая аксиома (иногда называемая
аксиомой анонимности) постулирует
равноправие игроков.
Далее
для простоты будем считать, что в
множестве U
существует вектор u,
каждая i-я
координата которого строго больше
.
Противоположный случай тривиален.
Оказывается, имеет место следующая
теорема:
Теорема
5.1. Существует
единственная функция
,
определенная для всех арбитражных схем
и удовлетворяющая аксиомам 5.1 – 5.6.
(Доказательство этой теоремы в работе
[9]).
Распределение
выигрышей согласно функции
имеет ряд существенных недостатков.
Основной из них состоит в следующем.
Пусть
имеется некоторое конечное множество
игроков
.
Любое его подмножество
,
включая само множество I
и одноэлементные подмножества
,
а также пустое множество
,
называется коалицией.
В некоторых случаях коалиция
обеспечивает для всех игроков выигрыши
строго большие, чем
.
В этой ситуации игроки кооперативной
игры, вступая в соглашения друг с другом,
не будут удовлетворены распределением
выигрышей
.
Поэтому решение о распределении согласно
вектору
может быть принято лишь некоторым
третьим лицом – арбитром. Это решение
оптимально в смысле аксиом 5. 1 – 5. 6 и
носит обязательный характер. Отсюда
берут свое название «арбитражные схемы».