7. Форми запису задач лінійного програмування

1. За допомогою знака суми «».

(2.6)

2. У векторно-матричному вигляді:

max(min) Z = CX

АХ = А₀; (2.7)

Х ≥ 0,

де

, ,

матриця коефіцієнтів; вектор змінних; вектор вільних членів;

С = (с₁, с₂, …, с_п) — вектор коефіцієнтів при змінних у цільовій функції.

3. У векторній формі:

max(min)Z = CX

A₁x₁ + A₂x₂ + … + A_nx_n = A₀; (2.8)

X ≥0,

де

є векторами коефіцієнтів.

8. Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування

Розглянемо на площині х₁Оx₂ сумісну систему лінійних нерівностей:

(2.9)

С

Рис. 2.1

укупність цих точок (розв’язків) називають багатокутником розв’язків, або областю допустимих планів (розв’язків) задачі лінйного програмування. Це може бути точка (єдиний розв’язок), відрізок, промінь, багатокутник, необмежена багатокут­на область.

Якщо в системі обмежень (2.9) буде три змінних, то спільну частину називають багатогранником розв’язків. Він може бути точкою, відрізком, променем, багатокутником, багатогранником, багатогранною необмеженою областю.

Нехай у системі обмежень (2.9) кількість змінних більша, ніж три: х₁, х₂,… х_n, якщо система обмежень сумісна, то за аналогією з тривимірним простором вона утворює спільну частину в n-вимірному просторі — опуклий багатогранник допустимих розв’язків.

Цільову функцію

в п-вимірному просторі основних змінних можна геометрично інтерпретувати як сім’ю паралельних гіперплощин, положення кож­ної з яких визначається значенням параметра Z.

Приклад:

Нехай фермер прийняв рішення вирощувати озиму пшеницю і цукрові буряки на площі 20 га, відвівши під цукрові буряки не менше як 5 га. Показники вирощування цих культур у табл.

Показник (із розрахунку на 1 га)	Озима пшениця	Цукрові буряки	Наявний ресурс
Затрати праці, людино-днів	5	25	270
Затрати праці механізаторів, людино-днів	2	8	80
Урожайність, тонн	3,5	40	—
Прибуток, тис. грн.	0,7	1	—

Критерієм оптимальності є максимізація прибутку.

Позначення:

х₁ — площа посіву озимої пшениці, га;

х₂ — площа посіву цукрових буряків, га.

max Z = 0,7x₁ + x₂ (2.10)

за умов: x₁ + x₂ ≤ 20; (2.11)

5x₁ + 25x₂ ≤ 270; (2.12)

2x₁ + 8x₂ ≤ 80; (2.13)

x₂ ≥ 5; (2.14)

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0. (2.15)

9. Основні властивості розв’язків задачі лінійного програмування

Теорема 2.2. Множина всіх планів задачі лінійного програмування опукла.

Доведення. Необхідно довести, що коли X₁ та X₂ — плани задачі лінійного програмування (2.1)—(2.3), то їх опукла комбінація X = λ₁X₁ + λ₂X₂, λ₁ ≥ 0, λ₂ ≥ 0, λ₁ + λ₂ = 1 також є планом задачі.

Так як X₁ і X₂ — плани задачі, то виконуються такі співвідношення:

AX₁ = A₀, X₁ ≥ 0; AX₂ = A₀, X₂ ≥ 0.

Якщо підставити в систему обмежень значення X, то отримаємо:

AX = A(λ₁X₁ + λ₂X₂) = λ₁AX₁ + λ₂AX₂ = λ₁A₀ + λ₂A₀ = (λ₁ + λ₂)A₀ = A₀.

Отримали, що X задовольняє систему обмежень задачі лінійного програмування (2.2), і оскільки Х₁ ≥ 0, Х₂ ≥ 0, λ₁ ≥ 0, λ₂ ≥ 0, то й Х ≥ 0, тобто задовольняють і умову (2.3). У такий спосіб доведено, що Х — план задачі лінійного програмування.

Теорема 2.3. Якщо задача лінійного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин багатогранника розв’язків. Якщо цільова функція набуває екстремального значення більш як в одній вершині цього багатогранника, то вона досягає його і в будь-якій точці, що є лінійною комбінацією таких вершин.

Д

Рис. 2.3. Багатокутник розв’язків задачі у двовимірному просторі

оведення. 1) Припустимо, що багатогранник розв’язків задачі обмежений і має скінченну кількість кутових точок. Позначимо кутові точки через Х₁, Х₂, ..., Х_р, а оптимальний план — Х₀

Для значення Х₀ виконується нерівність F(X₀) ≥ F(X). Припустимо, що Х₀ не є кутовою точкою

Отже, її можна подати як опуклу лінійну комбінацію кутових точок множини Q, тобто

X₀ = λ₁X₁ + λ₂X₂ + … + λ_pX_p,

.

F(X) — лінійна функція:

(2.16)

припустимо, найбільше значення відповідає кутовій точці і позначимо його через m, тобто . Оскільки , то

.

За припущенням Х₀ — оптимальний план, отже, з одного боку, F(X₀) ≥ F(X_k) = m, а з другого, доведено, що F(X₀) ≤ m, значить, F(X₀) = m = F(X_k), де X_k — кутова точка. Отже, лінійна функція досягає максимального значення в кутовій точці (X_k).

2) Припустимо, що F(X) набирає максимальних значень більше, ніж в одній кутовій точці,

наприклад у точках Х₁, Х₂, ..., Х_q, (1 ≤ q ≤ p),

тоді F(X₁) = F(X₂) = … = F(X_q) = m.

Якщо Х опукла лінійна комбінація цих кутових точок, то:

т

Рис. 2.4. Багатокутник розв’язку задачі у двовимірному просторі з необмеженою областю

обто лінійна функція F набирає максимальних значень у довільній точці Х, яка є опуклою лінійною комбінацією кутових точок Х₁, Х₂, ..., Х_q.

Зауваження. Якщо багатокутник розв’язків — необмежена область (рис. 2.4), то не кожну точку можна подати у вигляді опуклої лінійної комбінації її кутових точок. У такому разі введемо в систему додаткове обмеження

х₁ + х₂ ≤ L,

де L — достатньо велике число. Введення цього обмеження означає відтинання прямою х₁ + х₂ = L від багатокутної необмеженої облас­ті обмеженого багатокутника, для якого виконується наведена теорема.

Очевидно, що координати кутових точок, які утворяться в результаті введення нового обмеження, залежать від L. Якщо в одній з них лінійна функція набирає максимального значення, то воно залежить від L. Змінюючи L, значення функціонала можна зробити як завгодно великим, а це означає, що лінійна функція необмежена на багатограннику розв’язків.

Теорема 2.4. Якщо відомо, що система векторів (k ≤ n) у розкладі , лінійно незалежна і така, що

,

де всі x_j ≥ 0, то точка X = (x₁, x₂, …, x_k, 0, …, 0) є кутовою точкою багатогранника розв’язків.

Доведення. Припустимо, що точка Х не є кутовою. Тоді вона може бути виражена опуклою лінійною комбінацією двох інших точок Х₁ та Х₂ багатокутника розв’язків, тобто:

Компоненти векторів Х₁ та Х₂, значення λ₁ і λ₂ невід’ємні і останні n – k компонентів вектора Х дорівнюють нулю, тому відповідні n – k компонент векторів Х₁ та Х₂ також мають дорівнювати нулю, тобто

,

.

Оскільки Х₁ та Х₂ — плани, то

,

.

Віднімаючи від першого рівняння друге, отримаємо:

.

За припущенням вектори лінійно незалежні, тому останнє співвідношення виконується, якщо

.

Звідси:

Отже, Х неможливо подати як опуклу лінійну комбінацію двох інших точок багатокутника розв’язків. Значить, Х — кутова точка.

Теорема 2.5. Якщо — кутова точка багатогранника розв’язків, то вектори в розкладі , , що відповідають додатним , є лінійно незалежними.

Доведення. Не порушуючи загальності, можна вважати нерівними нулю перші k елементів вектора Х, отже,

.

Здійснимо доведення від супротивного. Припустимо, що система векторів лінійно залежна. Тоді існують такі числа , не всі рівні нулю, за яких виконується співвідношення:

.

За умовою

.

Задамо деяке число , помножимо на нього першу рівність, далі результат спочатку додамо до другого, а потім віднімемо від другого рівняння:

,

.

Отже, система рівнянь задачі лінійного програмування має два розв’язки, які можуть і не бути планами.

.

Всі х_і > 0, тому число можна вибрати настільки малим, що всі перші компоненти та набуватимуть додатних значень, тоді та — плани. При цьому , тобто Х — опукла лінійна комбінація точок Х₁ та Х₂, що суперечить умові теореми, оскільки Х — кутова точка.

Припущення стосовно лінійної залежності векторів привело до суперечності. Отже, воно є неправильним, а система векторів — лінійно незалежна.

Наслідок 1. Оскільки вектори мають розмірність m, то кутова точка багатокутника розв’язків має не більше, ніж m додатних компонентів .

Наслідок 2. Кожній кутовій точці багатокутника розв’язків відповідає лінійно незалежних векторів системи .

З наведених властивостей можна висновувати:

якщо функціонал задачі лінійного програмування обмежений на багатограннику розв’язків, то:

1. існує така кутова точка багатогранника розв’язків, в якій лінійний функціонал досягає свого оптимального значення;

2. кожний опорний план відповідає кутовій точці багатогранника розв’язків.

Тому для розв’язання задачі лінійного програмування необхідно досліджувати лише кутові точки багатогранника (опорні плани), не включаючи до розгляду внутрішні точки множини допустимих планів.

10. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування

Розглянемо задачу.

Знайти

(2.17)

за умов:

(2.18)

. (2.19)

Припустимо, що система (2.18) за умов (2.19) сумісна і багатокутник її розв’язків обмежений.

Алгоритм графічного методу розв’язування задачі лінійного програмування складається з таких кроків:

1. Будуємо прямі, рівняння яких дістаємо заміною в обмеженнях задачі (2.18) знаків нерівностей на знаки рівностей.

2. Визначаємо півплощини, що відповідають кожному обмеженню задачі.

3. Знаходимо багатокутник розв’язків задачі лінійного програмування.

4. Будуємо вектор , що задає напрям зростання значення цільової функції задачі.

5. Будуємо пряму с₁х₁ + с₂х₂ = const, перпендикулярну до вектора .

6. Рухаючи пряму с₁х₁ + с₂х₂ = const в напрямку вектора (для задачі максимізації) або в протилежному напрямі (для задачі мінімізації), знаходимо вершину багатокутника розв’язків, де цільова функція набирає екстремального зна- чення.

7. Визначаємо координати точки, в якій цільова функція набирає максимального (мінімального) значення, і обчислюємо екстремальне значення цільової функції в цій точці.

У разі застосування графічного методу для розв’язування задач лінійного програмування можливі такі випадки:

1. Цільова функція набирає максимального значення в єдиній вершині А багатокутника розв’язків (рис. 2.5).

2. Максимального значення цільова функція досягає в будь-якій точці відрізка АВ (рис. 2.6). Тоді задача лінійного програмування має альтернативні оптимальні плани.

3. Задача лінійного програмування не має оптимальних планів: якщо цільова функція необмежена згори (рис. 2.7) або система обмежень задачі несумісна (рис. 2.8).

Рис. 2.5 Рис. 2.6

Рис. 2.7 Рис. 2.8

4. Задача лінійного програмування має оптимальний план за необмеженої області допустимих розв’язків (рис. 2.9 і 2.10). На рис. 2.9 у точці В маємо максимум, на рис. 2.10 у точці А — мінімум, на рис. 2.11 зображено, як у разі необмеженої області допус­тимих планів цільова функція може набирати максимального чи мінімального значення у будь-якій точці променя.

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Рис. 2.11

11. Приклади розв’язування задач графічним методом

Ф ірма спеціалізується на виробництві офісних меблів, зокрема вона випускає два види збірних книжкових полиць — А та В. Полиці обох видів виготовляють на верстатах 1 та 2. Тривалість обробки деталей однієї полиці кожної моделі подано в табл. (2.4).