Аналитические методы решения ду. Метод последовательного дифференцирования

Рассмотрим задачу Коши в общем виде

с начальными условиями

Предположим , что искомое частное решение y(x) может быть разложено в ряд Тейлора по степеням разности (x-x₀).

Начальные условия дадут

Значение для найдем из уравнения задачи Коши , подставляя начальные условия

Величины , ,… определятся аналогично.

Доказано : Если правая часть уравнения задачи Коши в окрестности точки

есть аналитическая функция своих аргументов, то при значениях x , близких к значению x₀ , существует единственное решение задачи Коши, которое разлагается в ряд Тейлора . Тогда частичная сумма этого ряда будет приближенным решением поставленной задачи Коши.

Аналогично данный метод применяется и для решения систем ОДУ .

Рассмотрим пример :

Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) и z=z(x) системы

с начальными

Функции ищем в виде степенных рядов:

1. Положив x=0 имеем

2. Для вторых производных

Находим

3. Далее имеем

Находим

Подставляя полученные величины в ряды , получаем разложение вплоть до четвертого слагаемого :

Замечание : Такой метод нахождения решения можно применять к уравнениям n-го порядка не прибегая к замене на систему ДУ первого порядка.

Пример:

Уравнение : гармонического осциллятора

с начальными условиями

пусть шаг h=0.05 , на промежутке [0,3]

Записываем разложение в ряд :

Имеем :

Далее последовательно получаем :

Подставив в исходное выражение , получим :

Построим график полученного решения и сравним с решением встроенной функцией

Видно , что на протяжении примерно 40 шагов имеем достаточно хорошее приближение к решению.

Метод последовательных приближений ( метод Пикара) .

Суть метода в том , что решение получают как предел последовательности функций , которые находят по рекуррентной формуле :

Доказано :

Если правая часть f(x,y) в некотором замкнутом прямоугольнике

R{│x-x₀│≤a,│y-y₀│≤b} удовлетворяет условию Липшица ( см. предыдущие лекции) , то независимо от выбора начальной функции последовательные приближения f_n(x) сходятся на некотором отрезке [x₀,x₀+h] к решению задачи.

Оценка погрешности приближенного решения :

В качестве начального приближения y₀(x)можно взять любую функцию , близкую к решению ,в том числе выгодно иногда брать функцию в виде частичной суммы степенного ряда.

Область применения метода последовательных приближений более широкая , чем метода разложения в степенной ряд. Не требуется аналитичности правой части дифференциального уравнения.

Недостаток: все более громоздкие интегралы.

Пример: Рассмотрим Задачу Коши

Заменяем на интегральное уравнение :

В качестве начального приближения берем начальное условие.

Тогда для последовательных приближений имеем:

Построим график решения и сравним с встроенной функцией :

Теперь оценим погрешность последнего приближения .

Функция f(x,y)=x²+y² определена и непрерывна на всей плоскости, значит в качестве a и b можно взять любые числа .

Пусть мы рассматриваем функцию в пределах величин , указанных на графике.

Следовательно можно вычислить :

По правилу оценки шага h=0.4

Часто такая оценка погрешности завышена .

На практике вычисления останавливают , если соседние приближения отличаются в пределах изначально заданной погрешности.

13

стр. 13 из 13