Оценка общей погрешности численного дифференцирования.
При определении общей погрешности численного интегрирования надо понимать , что помимо остаточного члена есть погрешность задания весов ( коэффициентов ) в формулах и погрешность вычисления значений функции в узлах. Таким образом , абсолютная погрешность численного определения интеграла может быть представлена в виде:
∆qi - абсолютная погрешность весов,
∆ξi - абсолютная погрешность узлов
При компьютерном вычислении можно считать
∆qi ≈∆ξi ≈ε , 0 ≤ i ≤ n-1 , ε- точность представления вещественных чисел
Видно , что для оценки погрешности надо иметь числовую оценку модуля функции и ее первой производной.
Пусть это будут величины М0 и М1.
∆I=nε(М0+М1)+│R│
Если далее аналогично предположить , что существуют такие М2 и М4 для второй и четвертой производных , то получим выражения для ∆I формул прямоугольников, трапеций и Симпсона .
Существует абсолютная погрешность ∆Imin для любой квадратурной формулы, которую нельзя уменьшить увеличивая число шагов.
Конкретное значение зависит от М0, М1, М2, М4, а, в, ε .
Правило Рунге оценки погрешности квадратурной формулы
Для оценки погрешности любой квадратурной формулы с шагом h/2 следует вычислить численный интеграл по той же формуле с шагом h , тогда погрешность первоначального вычисления имеет величину
На практике для прямоугольников и трапеций , формулы Симпсона
,
В основе этого правила уточнения лежит экстраполяция Ричардсона.
Идея экстраполяции Ричардсона в том , чтобы из значений Qh/2 и Qh составить такую линейную комбинацию
Qh/2,h=c1 Qh/2 + c2 Qh ,
чтобы погрешность приближения интеграла I с помощью этой линейной комбинации Qh/2,h была более высокого порядка h , чем Qh/2 и Qh по отдельности
Коэффициенты выбираются в виде
