Логические основы построения эвм

Большинство схем управления и счета в ЭВМ являются логическими схемами. Составные части этих схем, называемые логическими элементами выполняют определенные логические функции. В основу построения логических элементов и схем положены законы и правила математической логики.

Логика - это наука о законах человеческого мышления. В середине прошлого века на логику было распространено буквенное исчисление и формульное выражение логических связей, которые существуют между суждениями, понятиями, высказываниями. Большой вклад в разработку основ применения формального метода математики в области логики сделали ученые Лейбниц, русский математик Порецкий П.С., английский математик Джорж Буль и другие. В 1854 г. Джорж Буль опубликовал книгу Законы мышления (The Laws of Thaught), в которой им была развита алгебра высказываний, получившая впоследствии название алгебры логики, или Булева алгебра. Алгебра логики явилась основой, на которой в начале XX века стала развиваться теория релейно-контактных схем и практика конструирования сложных дискретных автоматов, способных принимать различные состояния, переходить под воздействием входных сигналов из одного состояния в другое и выдавать выходные сигналы. Алгебра логики является инструментом разработки сложных схем, оптимизации многих тысяч логических элементов, из которых состоит современная ЭВМ.

Алгебра логики

Алгебра логики - это раздел математической логики значения всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.

Особое значение для разработки логических схем ЭВМ имеет исчисление высказываний.

Высказывание - это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждать о его истинности или ложности.

При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, т.е. каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинным, и ложным.

Пример. Высказывания: Сейчас идет снег - это утверждение может быть истинным или ложным; Москва - столица России - истинное утверждение; частное от деления 10 на 2 равно 3 - ложное утверждение.

Если высказывание истинно, то значение его истинности принимается равным единице, если высказывание ложно, то значение его истинности оценивается нулем.

Высказывания могут быть простыми и сложными. Простое высказывание содержит одну простую законченную мысль. Например, доска черная. Простые высказывания с помощью специальных символов (логических связей) объединяются в сложные, истинность которых зависит от значений истинности составляющих высказываний и вида логических операций, выполняемых над этими высказываниями. Так как простые высказывания могут принимать значения 1 или 0, их называют логическими (двоичными) переменными. Сложные высказывания - логическими функциями этих переменных. В устройствах ЭВМ истинность и ложность высказываний представляется электрическими сигналами разного уровня. Например, истинность высказывания представляется сигналом высокого уровня (сигнал кода 1), а ложность - сигналом низкого уровня (сигнал кода 0).

В алгебре логики, как и в обычной алгебре, используют символическую запись. Если простые высказывания обозначить латинскими буквами a,b,c,..., а сложные - буквами x,y,z, то сложное высказывание можно записать в виде функции x = f(a,b,c,...,k).

Эта функция в алгебре логики называется переключательной (булевой), если сама функция и ее переменные a,b,c,...,k могут принимать только два значения 0 или 1. Переключательные функции могут задаваться в виде таблицы истинности, примерная форма которой для функции трех переменных x = f(a,b,c) приведена в табл.3. Число наборов, определяющих функцию x табличным способом, равно 2ⁿ, где n - число переменных. В табл.3. каждому из восьми возможных наборов значений переменных a,b,c соответствует значение функции x, равное 0 или 1. Например, набору a = 1, b = 0, c = 1 соответствует значение функции x, равное единице. Применительно к ЭВМ это означает, что сигнал x высокого уровня на выходе анализируемой схемы появится лишь в том случае, если на входы a и c поступят единичные сигналы, а на вход b нулевой.

Таблица 3.

а	в	с	х	а	в	с	х	а	в	с	х
0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	0	1
0	0	1	1	1	0	0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	1

Простейшими операциями в алгебре логики являются операции логического сложения (иначе, операция ИЛИ, операция дизъюнкции и логического умножения (иначе, операция И, операция конъюнкции. Для обозначения операции логического сложения используют символы + или V, а логического умножения - символы * или ^.

Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий.

В частности, для алгебры логики выполняются законы:

1) сочетательный:

(a + b)+ c = a +(b + c);

(ab)c = a(bc);

2) переместительный;

a + b = b + a;

ab = ba;

3) распределительный:

a(b + c) = ab + ac;

(a + b)c = ab + bc.

Справедливы соотношения:

a + a = a; a + b = b, если a  b;

a*a = a; a*b = a, если a  b;

a + a*b = a; a + b = b, если a  b

a + b = a, если a  b; и др.

Наименьшим элементом алгебры логики является 0, наибольшим элементом - 1.

В алгебре логики также вводится еще одна операция - операция отрицания (иначе, операция НЕ, операция инверсии), обозначаемая чертой над элементом.

_ _ _ _ _ По определению: a + a = 1, aa = 0, 0=1, 1=0.

Для логических схем ИЛИ, И и НЕ существуют типовые технические схемы, реализующие их на реле, электронных лампах, дискретных полупроводниковых элементах. Для построения современных ЭВМ обычно применяются системы интегральных элементов, у которых с целью большей унификации в качестве базовой логической схемы используется всего одна из схем: И - НЕ (штрих Шеффера), ИЛИ - НЕ (стрелка Пирса) или И - ИЛИ - НЕ.