§5. Обратная решетка кристалла и ее ячейка Вигнерра – Зейтца. Зоны Бриллюэна кристалла.

Для каждой прямой решетки кристалла можно построить ей обратную. Обратные решетки широко используются в зонной теории твердых тел при описании движения электронов проводимости и фотонов. Пусть прямая решетки кристалла характеризуется базисными векторами и собственными векторами. Обозначим черезбазисные вектора обратной решетки кристалла. Свяжем базисные вектора прямой и обратной решетки кристалла условием, что скалярное произведение:

; (1)

Условию (1) удовлетворяет следующие вектора:

;

; (2)

.

Видно что,, , , значит,, такжеи, т.е.перпендикулярна двум базисным векторам прямой решетки, индексы которых отличаются отj. Видно, что тройка векторов образуют правовинтовые системы, еслии. На основе векторовпостроим бесконечную совокупность векторов(3); где , т.е.представляют собой целочисленную комбинацию векторов, они имеют размерность что и базисные вектора, а базисные вектора имеют размерность обратную длине, иными словамилежат в обратном пространстве. Будем откладывать с какой-нибудь точки - вектораКонцы таких векторов образуют узлы обратной решетки, а совокупность узлов есть обратная решетка кристалла. Еслиназывались собственными векторами прямой решетки, тоявляются собственными векторами обратной решетки. Ячейка построенная на базисных векторахназывается элементарной ячейкой обратной решетки, ее объем равен.

Бесконечным повторением в обратном пространстве элементарной ячейки можно получить всю бесконечную обратную решетку. На одну элементарную ячейку приходится один узел, следовательно число ячеек образующих обратную решетку равно числу ее узлов. ; . Элементарную ячейку обратной решетки можно получить иначе. Для этого возьмем какой-нибудь узел (Г) обратной решетки за начало отсчета. Проведем из этого узла (Г) прямые линии в ближайшие соседние узлы через середины этих перпендикулярно к ним проведем плоскости. Многогранник, полученный в результате пересечения плоскостей называется ячейкой Вигнера-Зейца. Возле каждого узла обратной решетки можно построить такую ячейку, при этом исходя из условия построения ячейки Вигнера-Зейца они не будут пересекаться и заполнят весь объем обратного пространства. Следовательно, объем ячейки Вигнера-Зейца равен объему параллелепипеда построенного на векторах. Ячейка Вигнера-Зейца повторяет симметрию обратной решетки, в то время как параллелепипед, построенный на векторахне обладает симметрией обратной решетки.

Рассмотрим пример: Пусть обратная решетка построена на базисных векторах, удовлетворяет условию ,. Следовательно, собственные вектора обратной решетки, где

Заштрихована элементарная ячейка обратной решетки.

Видно, что обратная решетка имеет ось симметрии 6-го порядка. С другой стороны как видно ячейка Вигнера-Зейца представляет собой правильный шести угольник. В то время как элементарная ячейка построенная на векторахне обладает такой симметрией. Будем обозначать вектора, проводимые из центра ячейки Вигнера-Зейца в любую ячейку через, они имеют размерность обратную длине. Два вектораибудем называть взаимно эквивалентными, если они отличаются друг от друга на какой-нибудь собственный вектор обратной решетки, т.е. если . По условию построения ячейки Вигнера-Зейца внутри нее нет взаимно эквивалентных векторов . Эквивалентные вектора имеются только на границе ячейки Вигнера-Зейца:

; ; .

Любые два вектора принадлежащие ячейке Вигнера-Зейца отличаются друг от друга не более чем на вектор , таким образом, внутри себя ячейка Вигнера-Зейца содержит бесконечную совокупность неэквивалентных векторов. Совокупность неэквивалентных векторов образуют в обратном пространстве область, которая называется первой зоной Бриллюэна. Следовательно, первая зона Бриллюэна совпадает с ячейкой Вигнера-Зейца обратной решетки. Значит, первой зоне Бриллюэна принадлежат вектора, которые короче всех эквивалентных векторов обратного пространства.

Докажем, что первой зоне Бриллюэна принадлежат вектора , которые удовлетворяют неравенству: ,.

Доказательство: Исходя из построений ячейки Вигнера-Зейца, должно выполняться следующие неравенство:

(1)

где модуль проекции вектора: ,- модуль проекции вектора,- собственные вектора проведенные в ближайшие к Г узлы. Очевидно (1) не измениться, если его правую часть умножить на модуль, тогда получаем:

(2)

(3)

(4)

Для выполнения неравенства (3) в ряду мы должны взять целое наименьшее число больше 0, то есть +1, тогда (3) примет вид:

(4) (5)

Если из точки Г провести прямые линии в следующие за ближайшими узлами узлы и через середины их провести перпендикулярные плоскости, то получим многогранник, если из него вычесть объем первой зоны Бриллюэна, то оставшийся объем образует вторую зону Бриллюэна и т.д. Для примера рассмотрим кристалл с плоской квадратной решеткой: а₁ = а₂ = а; . Базисные вектора обратной решетки есть, и ,значит обратная решетка плоской квадратной решетки является тоже квадратной.

На рисунке (а) заштрихована первая зона Бриллюэна, на рисунке (б) заштрихована вторая зона Бриллюэна, на рисунке (в) заштрихована третья зона Бриллюэна.