§4. Кристаллографические индексы Миллера.

Для обозначения плоскостей и направлений кристалла используются так называемые кристаллографические индексы Миллера. Для их получения проведем оси координатX,Y,Z вдоль базисных векторов . Пусть некоторая плоскость пересекает такую координатную систему в точках с координатами: ; ;. - целые или дробные числа, выражают наклон плоскостей по отношению к осям координатной системы. Теперь составим отношение обратных чисели приведем это отношение к отношению наименьших целых чисел: ; R - наименьшее кратное, а h, k, l и есть индексы Миллера для указанной плоскости. При обозначении плоскостей индексы Миллера заключаются в круглые скобки, без каких либо знаков между ними.

Предположим ; ; . Такие же индексы будут иметь остальные плоскости параллельные ей. Если плоскость параллельна одной из координатных осей, то соответствующий индекс равен нулю, если плоскость отсекает координату при отрицательных значениях, то над соответствующим индексом Миллера сверху ставится знак“-”. Направления перпендикулярные плоскости (hkl) обозначаются теми же индексами заключенными в квадратные скобки [hkl]. Система плоскостей одного кристаллографического типа обозначаются {hkl}, направления обозначаются <hkl>. Для примера найдем обозначения характерных плоскостей и направлений в кристаллах кубической системы (а₁ = а₂ = а₃ = а; α = β= γ= 90⁰). Для этого вырежем кристалл в форме куба с ребрами вдоль базисных векторов . Осиx, ,y, z направлены вдоль базисных векторов. Найдем индексы Миллера для заштрихованной плоскости 1. Она пересекает координатные оси в точках с координатами: ; ; . Тогда индексы Миллера для плоскости 2: (010), для 3: (001). x₁[100], y₁[010], z₁[001]. Плоскость противоположную (100), обозначают и так далее. Все плоскости (100), (010), (001),,,кристаллографически одинаковые и их обозначают {100}. На рисунке заштрихована плоскость (110), для этой плоскости одинаковыми являются плоскости (011), (101). На следующем рисунке заштрихована плоскость (111). Для обозначения плоскостей в кристаллах гексагональной системы используют 4 индекса Миллера, для этого проводят четыре координатные осиx, y, u, z,. Ось z параллельна ребру а₃. ; .

Плоскость перпендикулярная оси называется базисной плоскостью. Осиx, y, u располагают в базисной плоскости под углом 120⁰ друг к другу. Для тог чтобы найти (hkil), находят координаты точек пересечения с кристаллографическими осями.

Для примера найдем индексы Миллера для плоскости АВ, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Координаты точек пересечения этой плоскостью координатных осей: ,; ; . Следовательно, направления вдоль осиz есть [0001], i = - (h+k). Возникает вопрос, почему используем четыре а не три индекса Миллера при обозначении плоскостей и направлений в кристаллах гексагональной системы. Оказывается, что при обозначении тремя индексами Миллера однотипные плоскости кристаллов гексагональной системы имели бы разное число единиц и нулей, и их нельзя было бы обозначить как {hkl}. Для примера уберем ось u, тогда плоскости СВ=(010), ,. Обозначение этих плоскостей имеют вид: ,, видно что все однотипные плоскостиCB, DB, DF, FL имеют две единицы и два нуля, и тогда их можно обозначить {1100}.