Применение производной для нахождения точек перегиба
Определение 4.11. Функция
называется выпуклой вниз (вверх) на
промежутке
,
если
выполняется неравенство
.
С геометрической точки зрения это
означает, что отрезок, соединяющий любые
две точки графика и находящийся полностью
в области определения функции, расположен
целиком над (под) графиком функции. Так,
например, функция
является выпуклой вверх на промежутке
и выпуклой вниз на промежутке
;
функция
- выпуклой вверх на промежутке
и выпуклой вниз на промежутке
.
Графики!
Теорема 4.11. Если производная второго порядка дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка , то на данном промежутке функция выпукла вниз (вверх). Например, функция является выпуклой вниз на всей действительной прямой.
Определение 4.12. Точка
называется точкой перегиба функции
(или точка
называется точкой перегиба графика
функции
),
если
и при переходе через
меняет характер выпуклости.
Теорема 4.12 (необходимое условие).
Пусть
- точка перегиба функции
,
тогда
равна нулю, бесконечности или не
существует. Например, точка
является точкой перегиба функций
и
.
Замечание. Данное условие не является
достаточным. Например, точка
не является точкой перегиба функции
,
однако
.
Теорема 4.13 (достаточное условие).
Пусть функция
определена в точке
и дважды дифференцируема в некоторой
окрестности данной точки. Если производная
второго порядка меняет знак при переходе
через
,
то
- точка перегиба данной функции.
Пример 4.17. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .
Решение. Преобразуем функцию (для
удобства дифференцирования):
.
1)
.
2) критические точки второго порядка:
,
,
.
3) проверим, являются ли данные точки
точками перегиба:
метод интервалов
Таким образом,
и
- точки перегиба (не различаются), причём
и
;
и
- интервалы выпуклости вниз и вверх
соответственно.
Полное исследование функции и построение её графика
Асимптоты графика функции
Определение 4.13. Прямая
называется вертикальной асимптотой
графика функции
,
если
определена в окрестности точки
и хотя бы один из односторонних пределов
,
равен бесконечности.
Замечание. Исходя из определения,
точка
является либо точкой разрыва II – го
рода функции
(точка
для функции
),
либо предельной точкой области определения
данной функции (точка
для функции
).
Определение 4.14. Прямая
называется наклонной асимптотой графика
функции
,
если
определена на бесконечности и существуют
конечные пределы
и
.
Отметим, что в случае
прямая
называется горизонтальной асимптотой
(например, прямая
для графика функции
).
Замечание. Если конечные пределы
(
и
)
существуют только при
(
),
то говорят, что у графика функции есть
левосторонняя (правосторонняя) асимптота.
Так, например, прямая
является левосторонней горизонтальной
асимптотой графика функции
.
Пример 4.18. Найти асимптоты графика
функции
.
Решение. а) вертикальные асимптоты:
поскольку
,
то необходимо исследовать случаи
и
.
Поскольку
и
,
то прямая
не является, а прямая
является вертикальной асимптотой
графика функции;
б) наклонные асимптоты:
;
и у графика функции есть горизонтальная
асимптота
.
График:
!
Замечание. Из вида графика функции в примере 4.18 следует важное для практики определение асимптоты – это прямая, к которой график функции неограниченно приближается (но не пересекает) при удалении в бесконечность.
Схема полного исследования функции
1. Нахождение области определения функции.
2. Определение чётности – нечётности функции.
3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат.
4. Определение интервалов монотонности и экстремумов функции.
5. Нахождение интервалов выпуклости и перегибов функции.
6. Определение асимптот графика функции.
7. Построение графика функции.
8. Нахождение области значения функции.