- •Тема IV. Производная и её применение Определение производной. Правила дифференцирования. Таблица производных
- •Геометрический, физический и экономический смысл производной
- •Полный дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Применение производной для нахождения пределов
- •Применение производной для нахождения промежутков монотонности функции
- •Применение производной для нахождения экстремумов функции
- •Применение производной для нахождения точек перегиба
- •Полное исследование функции и построение её графика
Геометрический, физический и экономический смысл производной
1. Если - некоторая функция и точка , то величина равна тангенсу угла наклона касательной к графику данной функции в точке с абсциссой (угол отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки).
2. Если функция задаёт закон прямолинейного перемещения точки в зависимости от времени , то мгновенная скорость в момент времени вычисляется по формуле
.
3. Если функция задаёт зависимость затрат производства от объёма производимой продукции, то величина называется предельными затратами производства и приблизительно равна затратам на выпуск одной дополнительной единицы продукции.
4. Если функция показывает количество произведённой продукции за время , то производительность труда в момент времени равна .
Полный дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков
Определение 4.3. Производной - го порядка называется производная от производной - го порядка
.
В частности, производная второго порядка обозначается и вычисляется по формуле
при условии, что указанный предел существует. Физический смысл второй производной заключается в следующем: если закон прямолинейного движения точки задан формулой (где - время, - пройденный путь), то величина показывает скорость изменения скорости и называется ускорением точки в момент времени .
Пример 4.10. а) ;
б) .
Определение 4.4. Если функция имеет в точке конечную производную , то выражение называется дифференциалом функции в точке и обозначается
или, с учётом соотношения ,
.
Из определения и свойств производной вытекают арифметические свойства дифференциала функции
; ; .
Применение производной для нахождения пределов
Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых (или бесконечно больших) функций равен пределу отношения их производных (при условии, что последний существует)
.
Пример 4.11. ;
= = = = ;
= = = = = ;
= = = = ;
- выполнить самостоятельно.
Замечание. Правило Лопиталя является эффективным, но не универсальным способом раскрытия неопределённостей. Так, например, при вычислении = = предел отношения производных не существует, поскольку не существует . Однако исходный предел существует = .
Применение производной для нахождения промежутков монотонности функции
Вспомогательные результаты
Теорема 4.5 (Лагранжа). Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале , тогда .
Следствие. Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале , тогда если выполняется соотношение , то справедливо равенство .
Основные результаты
Определение 4.5. Функция называется возрастающей (убывающей, неубывающей, невозрастающей) на промежутке , если таких, что , имеет место неравенство ( , , соответственно). Общее название таких функций – монотонные.
Теорема 4.6 (достаточное условие монотонности). Если производная функции является положительной (отрицательной) внутри некоторого промежутка , то функция возрастает (убывает) на данном промежутке.
Доказательство. Выберем так, чтобы . По теореме Лагранжа . Каждый из сомножителей в правой части положителен, следовательно, или , то есть функция является возрастающей.
В качестве примера можно привести функцию , которая является монотонно убывающей на каждом из промежутков и .
Замечание. Данное условие не является необходимым. Так, например, функция (график – кубическая парабола) возрастает на всей числовой прямой, однако .