-
Затухающие колебания с вязким трением:
-
вывод уравнения затухающих гармонических колебаний в диссипативных системах с вязким трением;
Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы с течением времени уменьшаются.
Кроме упругой силы, вызывающей колебания, на материальную точку действуют еще и силы сопротивления со стороны окружающей среды (силы трения).
Рассмотрим колебания шарика, подвешенного на пружинке в вертикальной плоскости в вязкой среде, которая оказывает сопротивление движению по закону Стокса:
(58)
При малых колебаниях и малых скоростях
.
(59)
Результирующая сила, действующая на шарик, равна:
(60)
По II закону Ньютона
(61)
(62)
Или
(63)
Разделим все на массу:
(64)
Отношение
называют удвоенным коэффициентом
затухания колебаний, т.е.
(65)
Отношение
называют квадратом циклической частоты
затухающих колебаний, т.е.
(66)
Тогда уравнение (64) запишется в виде:
(67)
|
|
- дифференциальное уравнение второго порядка затухающих гармонических колебаний.
|
-
решение дифференциальное уравнение второго порядка затухающих гармонических колебаний
Решением дифференциального уравнения является:
(68)
где
- амплитуда затухания
- некоторые постоянные
Из (68) следует, что зависимость x(t) будет иметь следующий вид:
Пунктирной линией показано изменение амплитуды затухающих колебаний с течением времени.
С помощью (68) найдем скорость и ускорение:
(69)
(70)
(71)
Подставим x,
,
в (68):
(72)
После сокращения на
и
,
получим:
(73)
Одновременно Sin и Сos не могут быть равны нулю.
Выражение будет равно нулю, если каждое
из слагаемых
и
одновременно будут равны нулю:
1.
2.
Откуда получаем:
(74)
где
-
коэффициент затухания,
-
коэффициент сопротивления.
Подставим (74) в 1., получим
(75)
Решая которое получаем выражение для частоты затухающих колебаний и периода:
(76)
(77)
Т.к.
и
имеем выражение для частоты затухающих
колебаний:
(78)
(79)
-
время релаксации
(затухания) и коэффициент затухания
Временем релаксации называют время, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз.
Коэффициент затухания
-
есть величина, обратно пропорциональная
времени релаксации:
или
(80)
-
логарифмический декремент затухания
логарифмический декремент затухания прямо пропорционален произведению коэффициента затухания и периоду затухающих колебаний:
(81)
-
добротность
(безразмерна)
Добротность – величина, характеризующая потери энергии при затухающих колебаниях.
(82)
или
(83)