Принцип суперпозиции электрических полей

тело, рисунок

напряженность

Бесконечно заряженная плоскость

Рассмотрим бесконечную плоскость, заряженную с постоянной поверхностной плотностью . Линии напряженности направлены от плоскости в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр. Поток сквозь боковую поверхность равен нуля, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания. Согласно теореме Гаусса:

(I)

Т.к. поток осуществляется через две поверхности цилиндра, то .

Тогда:

(III)

Две параллельных заряженных плоскости

Рассмотрим две параллельных бесконечных плоскости, заряженных с постоянной поверхностной плотностью и . Направление линии напряженности см. на рис. В качестве замкнутой поверхности опять выберем цилиндр. Слева и справа от плоскостей линии напряженности направлены на встречу друг к другу, поэтому здесь напряженность поля равна нулю.

В области между пластинами:

определяются по формуле (III), поэтому результирующая напряженность равна:

(IV)

Сфера радиусом R

Рассмотрим поверхность радиуса R, заряженную равномерно с поверхностной плотностью . Линии напряженности направлены радиально. В качестве замкнутой поверхности построим сферу радиуса r с Тим же центром.

а) если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд , и по теореме Гаусса имеем:

(rR) (V)

При r>R поле убывает по такому же закону, как у точечного заряда (см. рис.)

б) если , то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри сферы с радиусом поле отсутствует, т.е. Е = 0.

в) на поверхности сферы (r = R)

(VI)

Объёмно заряженный шар

Рассмотрим шар радиусом R с общим зарядом Q, заряженного с объемной плотностью :

а) если r>R (см. сферу V), то внутрь поверхности попадает весь заряд , и по теореме Гаусса имеем:

(rR) (VIII)

б) если , то сфера радиуса охватывает часть заряда :

Согласно теореме Гаусса:

Т.к. объемная плотность

(IX)

Бесконечная заряженная нить (цилиндр)

Рассмотрим бесконечный цилиндр радиуса R, который заряжен с линейной плотностью :

Линии напряженности по радиусам круговых сечений цилиндра. В качестве замкнутой поверхности построим цилиндр радиусом r и высотой l.

а) если поток вектора сквозь боковую поверхность цилиндра радиуса r по теореме Гаусса:

(XI)

(XII)

б) если , то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри цилиндра с радиусом поле отсутствует, т.е. Е = 0.