Осьове розтягання та стискання

Осьове розтягання або стискання – це деформація, яка виникає в брусі при навантаженні зовнішніми силами, направленими вздовж його осі.

Брус, вісь якого є пряма лінія, називається стержнем.

Дослідження показали, що при осьовому розтяганні або стисканні дотичні складові внутрішніх зусиль, а звідси й дотичні напруження , відсутні в поперечному перерізі і виникають лише нормальні складові внутрішніх зусиль, рівнодійна яких називається поздовжньою силою. Вона зводиться до центра ваги поперечного перерізу стержня і є єдиним внутрішнім зусиллям, яке виникає в його поперечному перерізі. Поздовжні розтягуючи сили вважаються додатними, а стискуючі – від'ємними. На рисунках зображують додатний напрям повздовжніх сил, направляючи їх від перерізу.

Для визначення поздовжніх сил користуються методом перерізів: розрізають стержень (брус) на дві частини, одну з яких відкидають; вплив відкинутої частини на решту заміняють поздовжньою силою, яка потім визначається за рівняннями статики.

Нормальні напруження в поперечному перерізі стержня розподіляються рівномірно й визначаються за формулою

, (1.1)

де – площа поперечного перерізу стержня.

Графік, який показує закон змінювання поздовжньої сили або напруження за довжиною стержня, називається епюрою або .

Якщо на ділянці стержня довжиною відношення , то абсолютна деформація ділянки стержня визначається за формулою

, (1.2)

де - модуль пружності (або модуль Юнга) матеріалу стержня.

Абсолютна деформація ділянки стержня тільки від власної ваги

(1.3)

де - вага і-ї ділянки стержня ( ; - об’ємна вага матеріалу).

У випадку із ступінчастим брусом, що защемлений знизу, деформація його і-ї ділянки сталого перерізу з урахуванням власної ваги знаходиться за формулою

, (1.4)

де - зусилля в перерізах і-ї ділянки без урахування власної ваги; - сумарна вага всіх попередніх ділянок (якщо йти від вільного кінця бруса).

Абсолютна деформація стержня, який має кілька ділянок, є алгебраїчною сумою деформацій усіх його ділянок.

Переміщення якого-небудь перерізу стержня знаходиться як алгебраїчна сума деформацій ділянок, що розташовані між перерізом, який розглядається, і защемленим кінцем.

Відносна поздовжня деформація стержня . Вона пов’язана з напруженням лінійною залежністю, законом Гука . Відносна поперечна деформація пов’язана з поздовжньою деформацією e коефіцієнтом Пуассона так

(0 n 0.5). (1.5)

Умова міцності при осьовому розтяганні або стисканні має бути записана для небезпечного перерізу стержня, в якому виникає максимальне напруження

, (1.6)

де - допустиме напруження, що визначається:

для пластичних матеріалів ;

для крихких матеріалів ,

, - границі текучості та міцності матеріалу; , - коефіцієнти запасу міцності.

З умови міцності, якщо порівняти з , можна визначити потрібну площу поперечного перерізу

, (1.7)

або допустиме навантаження з виразу

. (1.8)

Для стержня призматичної форми умова міцності з урахуванням власної ваги

, (1.9)

звідки

. (1.10)

Для ступінчастого бруса за допомогою (1.10) отримаємо вираз для потрібної площі перерізу і-го ступеню

. (1.11)

Розпочинаючи розрахунок стержня (або системи стержнів), в яких виникає деформація розтягання або стискання, спочатку треба встановити, чи будуть ці система (або стержень) статично визначеними (СВС) або статично невизначеними (СНС). Для цього визначають ступінь статичної невизначеності системи (ССН), віднявши від кількості невідомих зусиль і незалежних від них реакцій системи кількість незалежних рівнянь статики, які можна записати для заданої системи сил.

Таким чином, для статично визначеної системи ССН=0, а для статично невизначеної ССН>0. Якщо система статично невизначена, то для її розрахунку, крім рівнянь статики, на основі розгляду деформації системи необхідно скласти додаткові рівняння сумісності деформацій.

Далі розглянуто кілька задач на осьове розтягання або стискання.

Задача №1.1. Ступінчастий бетонний брус перебуває під дією зовнішніх сил та і власної ваги (рис. 1.1,а). При , , , , , , , , , , , враховуючи та не враховуючи власну вагу, потрібно: а) побудувати епюри і ; б) перевірити міцність бруса; в) визначити повну деформацію бруса; г) визначити переміщення перерізу 1-1; д) користуючись умовою міцності з урахуванням власної ваги, знайти розміри квадратного перерізу кожної ділянки бруса.