Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка по матем.анализу_1 Фокина.doc

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2019

Размер:

64.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

VIII Неопределенный интеграл

Определение 8.1

Функция называется первообразной для функции на интервале (а, b),

Если для всех имеет место соотношение .

Очевидно, что вместе с функцией первообразной для будет и функция , где С – произвольное постоянное число. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенном интегралом и обозначается:

(8.1)

Отметим, что интегрирование (то есть нахождение первообразной для ) является обратной операцией к дифференцированию (то есть нахождению производной для функции Отсюда вытекают простейшие свойства неопределенного интеграла:

а также таблица неопределенных интегралов для элементарных функций:

, если

Искусство интегрирования состоит в том, чтобы интеграл от произвольной функции свести к одному или нескольким табличным интегралам 1) – 9). Существует несколько стандартных приемов (методов), позволяющих это сделать.

Метод замены переменной основан на формуле

= (8.3)

и при удачном выборе функции позволяет получить в правой части формулы (8.3) один из табличных интегралов.

Дадим несколько полезных советов, которые можно использовать при использовании формулы.

Замена

Пример

+ = + = + + C = + + C

Замена

Метод интегрирования по частям основан на формуле

(8.4)

которая легко получается из правила дифференцирования произведения двух функций:

. Первообразной для функции является, очевидно, функция , а первообразная для функции равна + , так что получим

= + (8.5)

отсюда и следует формула (8.4). Предполагается, что в формуле (8.4) интеграл, стоящий в правой части равенства вычисляется проще, чем интеграл, стоящий в левой части равенства.

Пример 1

Вычислить интеграл . Обозначим = . Согласно (8.4) получим:

= - =

Пример 2

Вычислить интеграл . Обозначим = . Согласно (8.4) получим:

= ( – ( - = ( -

IX Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла возникло в связи следующей конкретной задачей. Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция = , такая что > 0 для a,b]. Требуется определить площадь криволинейной фигуры , ограниченной осью О, прямыми и графиком функции = (см. рис 9.1).

Чтобы подсчитать площадь , делят отрезок [a,b] на (необязательно равных) частей ,],,], , ,], где . На каждом отрезке ,] выбирают точку и подсчитывают площадь прямоугольника с длиной основания и высотой .

Тогда сумма будет приближенно равна искомой площади . С увеличением числа отрезков (и уменьшение их длин) точность подсчета площади возрастает. Сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке [a,b].

Определение 9.1

Предел интегральной суммы для функции на отрезке [a,b] при ( при max ) называется определенным интегралом от функции на отрезке [a,b] и обозначается:

= (9.1)

Функция в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a,b].

Из определения (9.1) легко вытекают следующие его свойства:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Важное значение также имеет теорема о среднем значении, которую мы приведем без доказательства.

Теорема 9.1

Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке, причем обязательно найдется такая точка [a,b], что будет справедливо соотношение:

(9.2)

Геометрически утверждение теоремы 9.1 означает, что площадь криволинейной фигуры (рис.9.1) будет равна площади прямоугольника с длиной основания и высотой, равной значению в некоторой точке [a,b].

Очевидно, что определение 9.1 не дает простого эффективного правила для вычисления определенного интеграла. Такое правило дает

Теорема 9.2

Пусть функция непрерывна не некотором интервале, включающем отрезок [a,b] и - любая ее производная. Тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница:

(9.3)

Доказательство.

Возьмем некоторую точку и рассмотрим интеграл . Очевидно, значение этого интеграла зависит от выбора точки , поэтому мы имеет некоторую функцию , определенную на отрезке [a,b]. Дадим аргументу приращение и рассмотрим соответствующее приращение функции . Так как по свойству е) , то . Далее, поскольку функция непрерывна на отрезке [a,b], то по теореме 9.1 будем иметь Тогда и перейдя в этом соотношении к пределу при мы получим, = . Это означает, что производная от функции в любой точке [a,b] совпадает со значением функции , то есть - одна из первообразных для функции на отрезке [a,b]. Пусть - любая первообразная для функции , тогда , то есть для любого [a,b]. Если взять значение , то получим взять значение , то получим , что и требовалось доказать.