3. Абсолютная производная векторного поля

Пусть векторное поле задано в криволинейных координатах

.

Если взять произвольную кривую, характеризуемую криволинейными координатами

, то получим вектор-функцию

одного аргумента . При этом полная производная по времени этой функции определится выражением

. (44)

Воспользуемся этим равенством, а также (39) и (42) для получения выражения для компонент ускорения движения точки в локальном базисе.

В соответствии с формулой преобразования координат (14) скорость точки с координатами определяется выражением

, (45)

поскольку по определению . Поэтому (45) можно записать в виде

, (46)

где

и . (47)

В криволинейных координатах, пользуясь (44), для контрвариантных и ковариантных координат ускорения получим следующие выражения

(48)

и

. (49)

Здесь − символы Кристоффеля 1-го рода. При получении (49) использовалась лемма Риччи [4] о равенстве нулю ковариантной производной метрического тензора.

4. Градиент, дивергенция, вихрь и лапласиан в криволинейных координатах

Для скалярного поля над пространством можно в каждой точке пространства определить вектор , называемый градиентом функции . Если в задан ортонормированный базис , то по определению

.

В криволинейных координатах выражение для градиента записывается в виде

,

т.е. величины представляют собой ковариантные координаты вектора .

Пусть в криволинейных координатах векторное поле задано в одном из своих представлений или . Тогда для дивергенции можно записать следующее выражение

. (50)

Поскольку

,

то (50) с учетом симметрии символов Кристоффеля по нижним индексам, можно переписать в виде

.

Замечание. Дивергенцию нельзя определить

т.к. здесь свертка идет по двум ковариантным индексам, которая, как известно[1,4], тензором не является.

В выражении для дивергенции входит свертка символов Кристоффеля . Ее непосредственное вычисление с использованием выражений (36) в общем случае довольно затруднительно. Гораздо удобнее получать ее, используя следующие ниже выражения.

Оказывается [3], что

,

где , матрица составлена из коэффициентов метрического тензора . С использованием этого выражения дивергенцию можно представить в виде

.

Если векторное поле задано своим ковариантными координатами, то для дивергенции будем иметь

. (51)

Оператор Лапласа. В прямоугольных декартовых координатах оператор Лапласа, действующий на функцию , имеет вид

Чтобы получить выражение для этого оператора в криволинейных координатах, нужно воспользоваться выражением (51) для дивергенции векторного поля, заданного в ковариантном представлении, т.к. градиент наиболее просто задается с помощью своих ковариантных координат . Подставляя последнее выражение в (51) получаем

.

В случае ортогональной системы координат это выражение можно упростить, т.к. матрица метрического тензора имеет в этом случае диагональный вид. Поэтому , и лапласиан в ортогональных криволинейных координатах будет иметь следующий вид

Вихрь (ротор) векторного поля. В ортонормированном базисе (декартовой системы координат) вихрем называется вектор, координаты которого определяются следующим образом

. (52)

Для получения выражения для координат этого вектора в криволинейной системе координат необходимо в этом выражении вместо частной производной ввести ковариантную и заменить символ Леви-Чевита на тензорные аналоги

или .

Координаты вектора можно взять в двух представлениях: и . Ковариантная производная от первого будет . Это смешанный тензор, который нельзя свернуть по двум индексам ни с , ни с (для получения в результате компонент тензора). Ковариантная производная от будет . Это дважды ковариантный тензор, который можно «свернуть» по двум индексам с . Поэтому положим

. (53)

Это выражение является тензором, и при переходе к координатам в ортонормированном базисе дает верное исходное выражение (52) для вихря.

Подставляя в (53) выражение для ковариантной производной, можно получить

. (54)

Последнее равенство получено с учетом симметрии по индексам и антисимметрии по тем же индексам.

В результате имеем

.

Если вектор задан своими контравариантными составляющими , то (54) можно записать в виде

,

используя связь ковариантных и контравариантных компонент вектора.

Литература

1. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. − М.: Наука. – 1979. – 312 с.

2. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. − М.: Изд-во МГУ. – 1986. – 264 с.

3. Сокольников И. Тензорный анализ. − М.: Наука. – 1976. – 376 с.

4. Коренев Г. В. Тензорное исчисление: Учеб. пособие: Для вузов. − М.: Изд- во МФТИ, 2000. − 240 с.