
Н.Н.Сальников
Краткие сведения из теории вещественного трехмерного пространства
Геометрия пространства, в котором
рассматриваются различные физические
процессы в сплошных средах, может быть
описана с использованием трехмерного
вещественного евклидового пространства
.
Элементами или векторами
этого пространства являются упорядоченные
тройки вещественных чисел
,
(1)
которые представляют собой координаты
некоторой точки физического пространства
в фиксированной прямоугольной декартовой
системе координат. Сложение двух векторов
и
,
а также умножение вектора
на вещественное число
,
определяются следующим образом
,
(2)
(3)
Скалярное произведение двух векторов и находится с помощью выражения
.
(4)
Из этого определения следует, что скалярное произведение представляет собой вещественную функцию двух векторных аргументов и , линейную по каждому из этих аргументов.
С помощью скалярного произведения можно
определить длину вектора
,
т.е. расстояние от начала координат до
точки с координатами
,
,
(5)
а также угол
между векторами
и
с
помощью следующего соотношения
(6).
Если один или оба из этих векторов равны
нулю, то полагают
.
Соотношение (5) естественно позволяет
определять расстояние
между двумя точками пространства,
задаваемыми с помощью векторов
и
,
а именно,
.
Соотношение (5) является, по сути, теоремой Пифагора, а (6) является следствием известной из курса геометрии теоремы косинусов. Теорема Пифагора является математическим результатом, который справедлив в определенных математических рамках. Однако экспериментально установлено, что теорема Пифагора с большой точностью справедлива в том физическом пространстве, в котором мы живем и/или исследуем некоторые физические процессы, причем для достаточно больших (космических) расстояний. Именно поэтому евклидовое пространство используется при исследовании и описании этих процессов.
Будем называть вектор
единичным, если его длина
.
Два ненулевых вектора
и
будем называть ортогональными, если
.
Числа
в
выражении (1) являются координатами
вектора
в базисе
,
составленном из векторов
(7)
т.е.
.
Здесь и везде далее в записи
предполагается суммирование по
повторяющимся верхним и нижним индексам.
Можно убедиться, что векторы
и
являются единичными и попарно
ортогональными. Такой базис называется
ортонормированным.
В пространстве
можно задавать различные базисы, в общем
случае неортогональные и ненормированные,
задаваемые тремя линейно независимыми
векторами
.
Это будет соответствовать заданию
различных в общем случае декартовых
косоугольных систем координат в
одном и том же физическом пространстве.
При этом координаты
,
,
вектора
,
(8)
или коэффициенты разложения вектора
по векторам базиса
,
определяются однозначно. Это следует
из линейной независимости векторов
.
Числа
,
,
совпадают с координатами точки,
определяемой вектором
,
в системе координат, соответствующей
векторам
В дальнейшем волну над координатами
писать не будем, если это не будет
вызывать путаницу.
Скалярное произведение
,
выраженное через координаты векторов
и
в новом базисе, запишется в виде
,
(9)
в силу свойства линейности скалярного произведения по каждому аргументу. В выражении (9), как уже отмечалось, предполагается суммирование по повторяющимся верхним и нижним индексам. В (9) обозначено
,
.
(10)
Для вычисления чисел
очевидно необходимо знать координаты
векторов
и
в исходном ортонормированном базисе
,
и воспользоваться определением скалярного
произведения (4). Набор чисел
представляет собой компоненты метрического
тензора в базисе
.