1. Криволинейные системы координат

Криволинейные координаты в физическом пространстве вводятся с помощью задания трех функций

, (11)

связывающих значения криволинейных координат с прямоугольными декартовыми координатами . Область определения функций такова, что любого набора найдется единственный набор чисел , которые будут связаны зависимостью (11). Будем считать, что функции непрерывны вместе со своими производными до 2-го порядка включительно и, кроме того, определитель

(12)

для всех чисел из области определения. Из курса математического анализа известно, что в этом случае у функции (11) существует обратная

. (13)

Будем считать, что функции , , обладает теми же свойствами, что и функции , .

При этом каждая точка однозначно определяется как тремя числами (декартовыми координатами), так и соответствующими им криволинейными координатами .

Запишем уравнения (11) в следующем виде

, (14)

где - фиксированный ортонормированный базис, соответствующий выбранной прямоугольной декартовой системы координат.

Если в этом уравнении зафиксировать любые два параметра, а третий – оставить свободным, то получим параметрическое уравнение кривой. В частности, если зафиксировать параметры и , то получим уравнение кривой, которая называется координатной кривой, соответствующей криволинейной координате . Аналогично получаются уравнения координатных линий, соответствующих криволинейным координатам и .

Касательный вектор к -ой координатной линии определяется следующим выражением

. (15)

Величины являются координатами вектора в базисе . Касательные векторы и при выполнении условия (12) являются линейно-независимыми и поэтому образуют базис. Поскольку этот базис меняется при изменении точки пространства, характеризуемой координатами , он называется локальным базисом.

Если в уравнении (14) зафиксировать по одному параметру, то мы получим параметрические уравнения трех поверхностей, на каждой из которых будет постоянная одна криволинейная координата . Эти поверхности называются координатными. Через каждую точку проходят три такие поверхности, т.е. положение точки определяется как пересечение трех координатных поверхностей. Пересечением этих поверхностей являются координатные кривые. Эти свойства полностью аналогичны свойствам, например, ортогональной декартовой системы координат, в которой координатные поверхности являются плоскостями.

Поскольку векторы образуют базис, любой вектор может быть единственным образом представлен в следующем виде

. (16)

Скалярное произведение двух векторов и в соответствии с (9) определяется выражением

, (17)

где обозначено . В силу свойств скалярного произведения имеем

, (18)

а также

. (19)

Составим матрицу , элементами которой являются числа . В силу свойств (18) и (19) эта матрица является симметрической, положительно определенной и, следовательно, невырожденной

(20)

Рассмотрим базис (индекс − верхний, т.е. в общем случае , !), который определяется следующими условиями

(21)

отсюда, в частности, следует, что вектор ортогонален к векторам и ( ). Эти векторы являются касательными к координатной поверхности , и, следовательно, вектор ортогонален к этой поверхности. Аналогичные утверждения справедливы для векторов и . Базис называется сопряженным к базису .

Формулы перехода от базиса , к базису , имеют следующий вид

(22)

Формулы обратного перехода определяются следующими выражениями

(23)

Здесь − элементы матрицы , обратной к матрице .

, (24)

где − единичная матрицы. Последнее соотношение можно записать в следующем виде

(25)

Для скалярного произведения векторов сопряженного базиса, используя (23), (10) и (25), получим

(26)

Любой вектор может быть единственным образом представлен в виде

,

где - координата вектора в базисе . С помощью соотношений (14) и (15) можно получить связь координат вектора в исходном и сопряженном базисах

и (27)

Координаты , , и , , являются координатами одного и того же вектора в базисе и соответственно. Координаты с нижним индексом принято называть ковариантными, с верхним – контрвариантными координатами вектора. Преобразования координат (27) называют операциями поднятия и опускания индекса соответственно. Эти операции называют также жонглированием индексами.

Скалярное произведение (8) в силу своего определения не зависит от выбора системы координат и теперь, с учетом полученных формул преобразования векторов базисов и координат может быть записано в виде следующих равенств

. (28)

Скалярное произведение представляет собой билинейную функцию (т.е. линейную функцию по каждому аргументу) от векторов и является примером тензора, который называется фундаментальным метрическим тензором. При этом числа и являются координатами или коэффициентами этого тензора, связанные с базисами , и соответственно. В общем случае тензоры представляют собой полинейные функции нескольких векторных аргументов (подробнее см. в [1]).

Кроме скалярного произведения в пространстве можно определить векторное произведение. Пусть и - любые два вектора из . Тогда можно определить вектор , модуль которого равен площади параллелограмма, сторонами которого служат векторы и . Вектор ортогонален к каждому из векторов и , а направление его таково, что кратчайший поворот от вектора к вектору , если смотреть с вершины вектора , осуществляется против часовой стрелки.

Для ковариантных и контрвариантных координат вектора в случае произвольного (не обязательно ортонормированного) базиса , справедливы следующие выражения

и , (29)

где − детерминант матрицы метрического тензора, а − символ Леви-Чевита. Он определяется следующим образом. Его элементы равны нулю, если хотя бы два из индексов равны. Элемент принимается равным , также равны все элементы, имеющие комбинацию индексов, получаемую из с помощью четной перестановки(четным числом перестановок двух соседних индексов), а получаемые нечетной перестановкой равны .