4. Диференціювання в частинних похідних

Аналогічно здійснюється диференціювання в частинних похідних. Для цього слід в знаку диференціювання зазначити ту зі змінних, за якою диференціюємо:

5. Застосування похідних при Розв’язаннІ економічних задач

Поняття похідної дуже широко застосовується в економічних розрахунках та задачах. Так, похідна дозволяє визначити продуктивність праці, проаналізувати різні виробничі функції або визначити еластичність чинників при аналізі функцій попиту та споживання. Крім того, за допомогою диференціювання розв’язується величезний клас оптимізаційних задач.

Розрахунок продуктивності праці

Нехай функція виражає кількість зробленої продукції за час . Потрібно знайти продуктивність праці в момент часу t₀.

За відрізок часу від t₀ до кількість зробленої продукції зміниться від значення до значення . Тоді середня продуктивність праці за цей час буде дорівнювати .

Продуктивність праці в момент часу визначається граничним значенням середньої продуктивності праці за проміжок часу від до при , тобто: .

Таким чином, продуктивність праці в момент – це похідна обсягу виробленої продукції за часом у цей момент t₀.

Аналіз виробничих функцій

Виробничою функцією називається аналітичне співвідношення, що пов’язує змінні величини витрат (чинників, ресурсів) із величиною випуску продукції (виторгу, витрат виробництва та ін.). Ці функції використовуються для встановлення залежностей виторгу від продажу товару, випуску продукції від витрат ресурсів, витрат виробництва від обсягу продукції тощо. Їх диференціальні характеристики пов’язані із поняттям похідної.

Якщо К(х) – функція, що встановлює залежність витрат виробництва від кількості х продукції, що випускається, то границя

називається граничними витратами виробництва. Величина характеризує (приблизно) додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції.

Якщо U(x) – виторг від продажів х одиниць товару, то границя

називається граничним виторгом.

Якщо виробнича функція y=f(x) установлює залежність випуску продукції y від витрат ресурсу x, то границя

називається граничним продуктом.

Еластичність

У багатьох задачах зручніше обчислювати відсоток (відносний приріст) від приросту залежної змінної, відповідний відсотку приросту незалежної змінної. Це приводить до поняття еластичності функції, яку іноді називають відносною похідною.

Еластичністю функції відносно змінної х називається границя відношення відносного приросту цієї функції до відносного приросту змінної х при :

Еластичність звичайно позначається Е_x(y).

Таким чином, еластичність відносно х є наближений процентний приріст функції (підвищення або зниження), що відповідає приросту незалежної змінної на 1%.

Основні властивості еластичності функції

1. Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної х на темп зміни функції , тобто: .

2. Еластичність добутку (або частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичності цих функцій:

,

.

3. Якщо , то: .

Еластичність функції застосовується при аналізі попиту і споживання. Наприклад, еластичність попиту відносно ціни х (або прибутку) – коефіцієнт, що показує приблизно, на скільки відсотків зміниться попит (обсяг споживання) при зміні ціни (або прибутку) на 1%.

Якщо еластичність попиту за абсолютною величиною більша за одиницю, то попит вважається еластичним, якщо дорівнює одиниці – нейтральним, якщо менший за одиницю – нееластичним щодо ціни (або прибутку).

Високий коефіцієнт еластичності означає слабкий ступінь задоволення потреби; низький – велику потребу в даному товарі.