1. Методы решения оптимизационных задач

На сегодняшний день можно выделить три основных типа решения оптимизационных задач:

• методы, основанные на нахождении аналитического решения;

• методы перебора вариантов;

• методы, использующие элементы случайности.

Аналитические методы хорошо изучены, и, как правило, сводятся к решению системы линейных или нелинейных уравнений. Основные недостатки:

• требование дифференцируемости всех функций, входящих в состав уравнений;

• метод позволяет найти лишь локальные экстремумы, вследствие чего найденное решение может быть далеко от оптимального.

Методы перебора вариантов также хорошо изучены. Их основная идея заключается в том, что пространство поиска любой задачи можно представить в виде совокупности дискретных точек. Даже если переменные непрерывны, вследствие погрешностей любого измерения мы можем представить их дискретными (с шагом дискретности, равным либо погрешности измерения, либо с учетом требований к точности конечного результата). В этом случае процесс решения заключается в переборе всех точек пространства независимых переменных и вычислению в них целевой функции. Основной недостаток – необходимость большого количества вычислений, в результате чего для большой части практических задач невозможно получить решение за приемлемое время.

Например, пусть мы имеем 10 независимых переменных, каждая из которых может принимать 10² значений. Общее число вариантов составляет 10²⁰. Самый быстрый на настоящее время компьютер вычисляет со скоростью примерно 10⁹ операций/секунду (пусть одну точку обрабатывает за три такта – 3  10^-9 сек. Тогда суммарное время решения задачи составит порядка 10⁴ лет. А это далеко не самая сложная задача. Реальные задачи управления на уровне крупной фирмы или государства могут включать сотни и даже тысячи переменных.

Методы, использующие элементы случайности, также как и методы перебора, основаны на поиске в дискретном пространстве оптимального решения. Однако поиск в данном случае реализуется не методом перебора вариантов, а путем некоторого случайного «перескока» из точки в точку. При этом резко сокращается объем вычислений, необходимых для нахождения экстремума. Несмотря на определенные преимущества по сравнению с методами перебора, методы, основанные только на случайности, также во многих случаях не позволяют получать качественные решения за приемлемое время.

Исследования показали, внесение в случайные процессы некоторых элементов детерминированности дает значительное улучшение показателей. Одним из таких «частично» случайных методов и являются эволюционные вычисления.

1. Эволюционные вычисления

В рамках эволюционных вычислений существуют три основных класса методов:

• генетические алгоритмы;

• эволюционные стратегии;

• эволюционное программирование.

Основная особенность генетических алгоритмов заключается в представлении любой альтернативы решения (значения целевой функции для какой-либо точки многомерного пространства) в виде битовой строки (записи в двоичном виде) фиксированной длины, манипуляция которой осуществляется вне всякой связи с ее смысловой интерпретацией. То есть в данном случае применяется единое универсальное представление любой задачи.

Эволюционные стратегии, напротив, оперируют объектами, тесно связанными с решаемой задачей. Каждая альтернатива решения представляется единым массивом численных параметров, представляющих аргумент целевой функции. Решение направлено на улучшение сходимости входящих в массивы параметров с учетом их смыслового содержания.

В основе направления эволюционного программирования находится идея представления альтернатив в виде универсальных конечных автоматов, способных реагировать на стимулы, поступающие из внешней среды.

Общей особенностью методов эволюционных вычислений является то, что они не гарантируют нахождения глобального экстремума целевой функции. Однако они способны найти наилучшее решение за наименьшее время, особенно существенно их преимущество проявляется при решении задач с большим количеством переменных, целевая функция от которых имеет большое количество экстремумов.