3. Метод расстояний

В этом методе требуется по исходным данным построить реально не существующий объект-эталон, имеющий самые лучшие значения по всем показателям. Показатели объекта-эталона x_0j строятся следующим образом:

x_0j = max {x_ij}, если s_j=+1 или x_0j = min {x_ij}, если s_j= - 1.

^{i i}

В каждом столбце матрицы Х находится наилучшее значение показателя. Найденные значения образуют дополнительную строку чисел (х₀₁, х₀₂,…, х_0n) – показатели объекта-эталона.

Оценка R_i каждого i-го объекта вычисляется как квадрат расстояния между двумя точками в n-мерном пространстве. Координаты одной точки – это значения показателей объекта-эталона, координаты второй – показатели i-го объекта. Оценка каждого объекта рассчитывается по формуле

n

R_i = ∑ k_j*(x_ij – x_0j)²_.

j=1

Чем ближе объект к эталону (меньше расстояние между ними), тем лучше его оценка. Наилучший объект имеет минимальное значение сравнительной оценки.

Метод расстояний наиболее формализован, учитывает значимость показателей и его идея определения оценок как расстояний между точками- объектами и точкой-эталоном весьма убедительна.

Недостатками метода являются:

• сложная процедура вычислений и ненаглядность результатов;

• колеблемость (вариационный размах, среднеквадратическое отклонение) различных показателей могут существенно отличаться, следовательно, показатели с большей вариацией будут иметь больший вес в суммарной оценке, т.е. неявно они получают преимущество перед другими показателями.

Пример 3.1. Рассчитать комплексную сравнительную оценку объектов методом расстояний. Ранжировать объекты от лучшего к худшему.

Объект-эталон для приведенного примера имеет значения показателей, приведенные в табл.7.

Таблица 7

Значения показателей объекта-эталона

Эталон	Значения показателей объекта-эталона
	I	II	III	IV	V	VI	VII
x0j	0,4	102,7	0,5	-1,67	4,8	2	0,75

Тогда R₁ = 0,25*(0,3–0,4)²+0,1*(102,7–102,7)²+0,3*(0,5–0,5)²+

+ 0,1*(-0,85+1,67)²+ 0,15*(4,8-4,8)² + 0,05*(1,2-2)²+ 0,05*(0,5-0,75)² = 0,105

Сведем расчеты в табл.8.

Таблица 8

Расчет комплексной сравнительной оценки методом расстояний

Объекты	Значения слагаемых комплексной оценки kj*(xij – x0j)2							Комплексная сравнительная оценка объекта Ri	Рейтинговое место объекта
	I	II	III	IV	V	VI	VII
1	0,003	0,000	0,000	0,067	0,000	0,032	0,003	0,105	1
2	0,006	0,121	0,007	0,000	0,216	0,000	0,001	0,351	2
3	0,000	0,100	0,003	0,506	0,794	0,002	0,000	1,405	3
4	0,003	0,001	0,003	1,452	0,122	0,013	0,006	1,598	4

Пример 3.2. Проанализировать структуру оценки, полученной методом расстояний, сделать вывод о соответствии влияния отдельных показателей на комплексную оценку их коэффициентам значимости и оценить точность применяемого метода.

Для этого рассчитанная в примере 3.1 комплексная сравнительная оценка i-го объекта R_i принимается за 100% и каждое слагаемое выражается по отношению к ней, результаты расчетов приведены в табл.9. Например, для объекта 1 удельный вес показателя IV в оценке данного объекта составит

k₄*(x₁₄ – x₀₄)² 0,1*(-0,85+1,67)²

w₁₄ = ---------------- *100 = -------------------- * 100 = 64,12%.

R₁ 0,105

Таблица 9

Структура комплексной сравнительной оценки, полученной методом расстояний, %

Объект	Вес показателя в оценке wij							Итого
	I	II	III	IV	V	VI	VII
1	2,38	0,00	0,00	64,12	0,00	30,52	2,98	100,00
2	1,60	34,52	1,93	0,00	61,63	0,00	0,32	100,00
3	0,00	7,12	0,21	36,04	56,49	0,14	0,00	100,00
4	0,16	0,06	0,19	90,83	7,60	0,78	0,38	100,00
Средний вес показателя wj	1,04	10,43	0,58	47,75	31,43	7,86	0,92	100,00
Коэффициент значимости kj, %	25	10	30	10	15	5	5	100,0
Отклонение О	3159,5

Из данного расчета следует, что наибольший вес в оценке имеют показатели IV и V, которые имеют наибольшие значения показателя колеблемости (среднеквадратического отклонения σ _j), несмотря на то, что согласно коэффициентам значимости ведущую роль должны были играть показатели I и III (см. табл.10).

Cреднеквадратическое отклонение σ _j определяется по формуле

______________

/ m

σ_j =  1 / m*(x_ij- x_{ср j})² .

i=1

Например, x_{ср 1} = (0,3 + 0,25 + 0,4 + 0,3) / 4 = 0,313,

_____________________________________________________

σ ₁ = 1/4*[(0,3 – 0,313)²+(0,25 – 0,313)²+(0,4 – 0,313)²+(0,3 – 0,313)²]=0,054.

Таблица 10

Зависимость структуры комплексной сравнительной оценки, полученной методом расстояний, от колеблемости значений показателей

	Показатели							Итого
	I	II	III	IV	V	VI	VII
Средний вес показателя wj	1,04	10,43	0,58	47,75	31,43	7,86	0,92	100,00
Средне квадратическое отклонение показателя σ j	0,054	0,502	0,054	1,451	0,822	0,303	0,129

Отклонение при использовании данного метода О = 3159,5, что значительно больше, чем в методе суммирования значений показателей (О = 1527,9) и в методе суммы мест (О = 756,4), т.е. из рассмотренных методов метод суммы мест наиболее точен.