11. Потенциальная энергия заряда в электрическом поле

Сравним гравитационное взаимодействие тел и электростатическое взаимодействие зарядов. Тело массой т в поле тяжести Земли обладает потенциальной энергией. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

(Здесь и далее мы будем обозначать энергию буквой W.) Точно так же, как тело массой т в поле силы тяжести обладает потенциальной энергией, пропорциональной массе тела, электрический заряд в электростатическом поле обладает потенциальной энергией W_p пропорциональной заряду q. Работа сил электростатического поля А равна изменению потенциальной энергии заряда в электрическом поле, взятому с противоположным знаком:

12. Криволинейный интеграл произвольного вектора A вдоль какого-либо произвольного замкнутого контура L называется циркуляцией этого вектора вдоль контура L.

 

.

 

 

Интеграл   есть циркуляция вектора индукции магнитного поля вдоль произвольного замкнутого контура L. Циркуляция вектора A по произвольному замкнутому контуру L, проведенному вокруг постоянного тока I, равна:

 

, (в "СИ")

 

, (в гауссовой системе)

 

где c = 3·10¹⁰ см/с - скорость света.

 

Вычисление циркуляции вектора в по замкнутому контуру

 

 

Рис. 1

 

Циркуляция вектора В по замкнутому контуру вокруг постоянного тока не зависит от вида контура и определяется только силой тока.

Ток I считается положительным, если его направление связано с направлением обхода контура правилом правого винта.

Циркуляция вектора В по замкнутому контуру, не охватывающему ток, равна нулю.

Допустим теперь, что магнитное поле создается несколькими постоянными токами. Магнитные поля отдельных токов удовлетворяют принципу суперпозиции, а циркуляции этих полей по одному и тому же замкнутому контуру складываются алгебраически. В результате получаем: циркуляция вектора индукции магнитного поля В постоянных токов по произвольному замкнутому контуру равна сумме всех токов, охватываемых контуром, умноженной на ₀ (в системе "СИ") и на 4/c (в гауссовой системе). Это положение называется теоремой о циркуляции вектора индукции магнитного поля В или законом полного тока.

 

, в ("СИ")

 

. (в гауссовой системе)

 

 

К теореме о циркуляции вектора в

 

 

Рис. 2

 

Точкой» обозначены токи, текущие перпендикулярно чертежу на нас, "крестиком" - токи, текущие перпендикулярно чертежу от нас.

Если ток течет по объему и плотность тока j конечна, то:

 

,

 

где S - любая поверхность, натянутая на контур, по которому вычисляется циркуляция.

 

В этом случае теорема о циркуляции вектора В записывается следующим образом:

 

, (в "СИ").

 

Теорема о циркуляции в дифференциальной форме имеет вид:

 

rot B = ₀j, (в "СИ")

 

rot B = [4/c]j. (в гауссовой системе)

 

Это уравнение имеет дифференциальный характер и справедливо для любой точки.

13. Формула потока вектора противоречит принципу причинности

В современной физике потоком вектора а называют скалярную физическую величину  Φ_а = ∫_S а dS = ∫_S (а n) dS , ( 1 )  где S – площадь произвольно расположенной поверхности;  а – произвольная векторная величина, начало которой лежит на поверхности S;  dS = ndS – псевдовектор, поставленный в соответствие ориентированной элементарной площадке (И.Бронштейн и К.Семендяев, 1968);  n – орт нормали к элементарной площадке dS.  Чаще всего приводится первая запись уравнения (1), но это не меняет того, что физическая величина Φ_а в уравнении (1) является скаляром. Псевдовектор элементарной площадки dS, является чистой математической абстракцией. Согласно уравнению (1) Φ_а = f(а). На странице, посвященной физическому содержанию векторной величины, показано, что согласно принципу причинности произвольную векторную величину а следует рассматривать как локализациюполного вектора, распределенного по площади, в точке с заданными координатами.  Когда в математике и физике сначала вводят понятие частной величины (локального вектора), а затем – понятие общей величины, называемой потоком вектора, то мы имеем дело с не всегда оправданным проявлениеминдуктивного метода – от частного к общему. А дедуктивный метод предполагает сначала введение полной величины (неудачно названной в данном случае потоком вектора), а затем уже – введение локализованной величины (самого вектора).  Термин "поток вектора" является, по нашему мнению, отражением неаккуратности в присвоении названий физическим величинам и должен быть заменен другим термином. Процитируем справочник И.Бронштейна и К.Семендяева (1986): "Каждой ориентированной плоской площадке Σ можно поставить в соответствие вектор S, имеющий направление n и модуль, равный ее площади S".  На основании такого представления действительно может показаться, что такая векторная величина, как перемещение объема ΔV, является скаляром, так как определяется скалярным произведением ΔV = хdS. Но представление о том, что поток вектора скорости является скалярной величиной, приводимое в учебниках по физике, противоречит принципу причинности. Например, перемещение dx центра перемещаемого объема dV является следствием перемещения этого объёма, а не его причиной. При соблюдении принципа причинности следует записать выражение dx = dV/dS. И тогда элементарная площадка dS остается скаляром, чем она, по сути дела, и является. А понятие о псевдовекторе площадки dS остается математической абстракцией, не имеющей физического содержания.  Почему же в теории физического поля применяются скалярные потоки вектора? Дело в том, что при анализе физического поля не применяются понятия о проточных системах и перемещаемых координатах состояния, и применение скалярных потоков вектора себя оправдывает теоретически, так как в этом случае оно не противоречит принципу причинности. Но и тут следует заметить, что вместо записи dS, как это принято в векторном анализе, предпочтительнее указывать запись ndS.  В частности, поток вектора магнитной индукции B (магнитный поток) Φ_m = ∫_S BndS является величиной скалярной, ведь в магнитных цепях никакая координата состояния не перемещается. Это следует объяснять при преподавании, чтобы не казалось, будто в магнитных цепях что-то движется. А такие мысли могут появиться по причине того, что в термине "магнитный поток" присутствует слово "поток".