Доказательство теорем.
Доказательство включает в себя три основных элемента:
Тезис (главная цель доказательства - установить истинность тезиса). Форма выражения тезиса - суждение.
Аргументы (основания) доказательства - положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов - суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключению, которые строятся по определенным правилам. Аргументы, на которые можно опереться при доказательстве: аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы.
Демонстрация - логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.
Рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения есть доказательство. Существуют различные методы доказательства теорем. Под методом доказательства будем понимать способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждения. Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, можно выделить по двум основаниям: по пути обоснования тезиса (прямое и косвенное); по математическому аппарату, используемому в доказательстве.
К прямым приемам доказательства относятся:
Прием преобразования условия суждения (синтетический).
Прием преобразования заключения суждения: а) отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); б) отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ).
Прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.
К косвенным приемам поиска доказательств относятся:
Метод “от противного” (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения).
Разделительный метод или метод разделения условий (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного), иначе этот метод называют методом исключения.
К методам доказательства, выделенным по второму основанию, когда способ связи аргументов согласуется с определенной математической теорией в школьном курсе математики, относятся:
Метод геометрических преобразований. Э тот метод в школе используется как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии. Состоит он из выполнения последовательности шагов: выбирается геометрическое преобразование, обладающее свойством, которое позволяет обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии; выполняется преобразование, при котором один объект переходит в другой; обосновывается наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного геометрического преобразования.
Алгебраические методы (уравнений, неравенств, тождественных преобразований).
Векторный метод, использующий аппарат векторной алгебры.
Координатный метод, Координатный метод - это способ определения положения точки на прямой, на плоскости или в пространстве с помощью чисел (например, в декартовой системы координат ли какой-либо другой). Используя координатный метод, алгебраические уравнения можно истолковать в виде геометрических образов (графиков или фигур) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических выражений (уравнений, неравенств или их систем).
При доказательстве математических утверждений используются разные математические методы.
Теоремы с доказательствами составляют ядро теории. В курсе геометрии в основном рассматриваются теоремы, которые можно представить в виде импликации. Работа с такими теоремами предполагает выполнение учителем логико-математического анализа:
установление формы формулировки;
перевод формулировки, если необходимо, в импликативную форму (если…, то…);
запись структуры теоремы, т.е. вычленение разъяснительной части, условия, заключения с выделением простых высказываний и содержания структурных элементов;
определение вида (простая или сложная);
формулирование утверждений, обратного данному, противоположного данному и обратного противоположному (определение их истинности или ложности).
Пример. Анализ теоремы «Сумма смежных углов равна 180 градусам», а также утверждений: а) обратного данному, б) противоположного данному, в) противоположного обратному.
1. Теорема сформулирована в категоричной форме. В импликативной форме она будет иметь формулировку: «Если углы смежные, то их сумма равна 180 градусам». Вид суждения – общеутвердительное, поэтому уточним формулировку: «Если любые два угла смежные, то их сумма равна 180 градусам».
2. Утверждение, обратное данному: «Если сумма двух углов равна 180 градусам, то углы смежные». Вид суждения – общеутвердительное, поэтому формулировка будет: «Если любые два угла в сумме равны 180 градусам, то они смежные».
3. Утверждение, противоположное данному: «Если углы не смежные, то их сумма не равна 180 градусам». Вид суждения – общеотрицательное.
4. Утверждение, обратное противоположному: «Если сумма углов не равна 180 градусам, то углы не смежные». Вид суждения – общеутвердительное.
Работа с теоремой включает в себя следующие этапы.
Нулевой этап – выполнение логико-математического анализа.
Первый этап – подготовительный, который подразумевает: актуализацию знаний, мотивацию необходимости изучения факта, подведение к теоретическому факту.
Второй этап – основной – включает:
- формулировку теоремы;
- работу с формулировкой: перевод из категоричной формы в импликативную, если это необходимо, переформулирование, выделение условия и заключения;
- мотивацию необходимости доказательства;
- анализ условия и заключения, поиск способа доказательства, составление схемы доказательства или образца доказательства;
- работу с доказательством: выделение основной идеи, общей структуры и шагов доказательства, выдвижение аргументов и демонстрация доказательства;
- подведение итогов (основные идеи и теоретические факты, положенные в основу доказательства).
Третий этап – закрепление, т.е. непосредственное применение теоремы «в лоб» (используется в качестве аргументов преимущественно только изучаемая теорема, и доказательство имеет 1-2 шага).