Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
4,6 Теоремы.docx
Скачиваний:
4
Добавлен:
24.11.2019
Размер:
28.13 Кб
Скачать

Теорема и её строение.

Под теоремой принято считать математическое предложение (утверждение), истинность которого устанавливается с помощью доказательства в рамках данной теории.

С точки зрения логики теорема представляет собой высказывание, часто в форме импликации. Также в школьном курсе математики встречаются теоремы-тождества и теоремы-формулы (выраженные языком математических символов), теоремы существования (отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование объекта, обладающего определенными свойствами). Среди теорем, представляемых в виде импликации, выделяют такие частные виды, как следствие (доказывается с помощью одной теоремы), лемма (важна как ступень к доказательству другой теоремы), необходимое и достаточное условие (истинно и прямое, и обратное утверждения, форма – эквиваленция).

Доказательством называют конечную последовательность предложений данной теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предыдущих предложений этой теории по правилам логического вывода.

Виды теорем.

Простейшая форма математической теоремы такова: ∀х ∈ Х (А(х) ⇒ В(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство B(х) (заключение теоремы).

Исходя из утверждения ∀х ∈ Х (А(х) ⇒ В(х)), можно построить новые утверждения:

∀х ∈ Х (B(х) ⇒ A(х)) (обратная теорема);

∀х ∈ Х (А(х) ⇒ В(х)) (противоположная теорема);

∀х ∈ Х (B(х) ⇒ A(х)) (теорема, противоположная обратной).

Сформулируем эти утверждения для теоремы Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

обратная теорема: {∀(P1 ∈ П, P2 ∈ П, P3 ∈ П) |P1P2|2 + |P2P3|2 = |P1P3|2 ⇔ ∠P1P2P3 = π /2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне - прямой) - верное утверждение;

противоположная теорема: {∀(P1 ∈ П, P2 ∈ П, P3 ∈ П) ∠P1P2P3 ≠ π /2 ⇔ |P1P2|2 + |P2P3|2 ≠ |P1P3|2} (если какой-либо угол треугольника не прямой, то квадрат противолежащей стороны не может быть равен сумме квадратов остальных сторон - верное утверждение (следствие теоремы косинусов));

теорема, противоположная обратной: {∀(P1 ∈ П, P2 ∈ П, P3 ∈ П) |P1P2|2 + |P2P3|2 ≠ |P1P3|2 ⇔ ∠P1P2P3 ≠ π /2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника не равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне, не может быть прямым) - верное утверждение.

Однако если верна прямая теорема, это не означает, что всегда будут верны все остальные. Рассмотрим утверждение: "если десятичная запись натурального числа заканчивается нулем, то это число делится на пять без остатка". Обратная теорема ("если натуральное число делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа заканчивается нулем") - ложна (число х = 15 делится нацело на 5, но не оканчивается нулём). Противоположное утверждение "если десятичная запись натурального числа не заканчивается нулем, то это число не делится на пять без остатка" тоже ложно (опровергающий пример - х = 15). Утверждение, противоположное обратному: "если натуральное число не делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа не может заканчиваться нулем" - истинно. Докажем общее утверждение

Рассмотрим, например, теорему «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны». Построим предложение, обратное данному: «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником». Это ложное высказывание, в чем легко убедиться (в равнобедренной трапеции диагонали равны, но трапеция не является прямоугольником).

Рассмотрим теорему «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник – равнобедренный». Это истинное предложение и потому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной.

Для любой теоремы вида А В (если А, то В) можно сформулировать предложение (если не А, то не В), которое называют противоположным данному. Но это предложение также не всегда является теоремой. Например, предложение, противоположное теореме «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» будет ложным: «если четырехугольник не является прямоугольником, то в нем диагонали не равны».

В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной.

Для всякой теоремы вида А В (если А, то В) можно сформулировать предложение (если не В, то не А), которое называют обратным противоположному. Например, для теоремы «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» предложение, обратное противоположному, будет таким: «если в четырехугольнике диагонали не равны, то он не является прямоугольником». Это, как известно, предложение истинное, и, следовательно, является теоремой, обратно противоположной данной.

Вообще, для какой бы теоремы мы ни формулировали предложение, обратное противоположному, оно всегда будет теоремой, потому что имеется следующая равносильность: . Эту равносильность называют законом контрапозиции.

Теоремы и – взаимообратные, а и – взаимопротивоположные.