Примеры решения типовых задач

Найдите пределы:

1. .

Решение:

Так как и , то мы имеем неопределенность 0/0. Раскроем ее, разложив числитель и знаменатель на множители и упростив дробь:

2. .

Решение:

Так как и , то имеем неопределенность . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное числителю:

3. а) ; б) ; в) .

Решение:

В каждом из пределов имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия числитель и знаменатель разделим на старшую степень знаменателя:

а) ,

т.к.

б) .

в)

Замечание. Если числитель и знаменатель дроби есть многочлен, то предел дроби при равен:

а) отношению коэффициентов при старших степенях, если старшая степень числителя равна старшей степени знаменателя;

б) бесконечности, если старшая степень числителя выше старшей степени знаменателя;

в) нулю, если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя.

4. .

Решение.

Для решения примера воспользуемся первым замечательным пределом :

.

4. .

В данном примере имеем неопределенность . Для ее раскрытия воспользуемся 2-м замечательным пределом в виде:

. . Положим , заметим, что при , а .

Имеем:

6. .

Решение:

В данном пределе имеем неопределенность . Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом в виде . Положим -2x=y, тогда при имеем, что :

Можно и не проводить замену переменной. Тогда решение примера имеет вид:

7. Вычислите односторонние пределы:

а) ; б) .

Решение:

а) Если , то , а следовательно , или .

б) Если , то , следовательно , т.е. .

8. Определите, какие из функций при будут бесконечно малыми (б.м) одного порядка малости, высшего порядка, низшего порядка по сравнению с бесконечно малой :

а) ; б) ; в) .

Решение:

Чтобы решить поставленную задачу, найдем в каждом из случаев:

а) ,

следовательно (б.м.) более низкого порядка, чем .

б)

, таким образом, и одного порядка малости.

в) , следовательно б.м более высокого порядка, чем .

Практические задания для развития и контроля владения компетенциями Задания, решаемые в аудитории

1. Найдите пределы

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .

2. Найдите пределы функций при :

а) ; б) ; в) ;

г) .

3. Вычислите пределы функции при и , если .

4. Вычислите пределы с помощью первого замечательного предела:

а) ; б) ; в) ; г) .

5. Вычислите пределы с помощью второго замечательного предела:

а) ; б) ; в) ; г) .

6. Найдите односторонние пределы:

а) ;	б) ;	в) .
г) ;	д) .

7. Определите порядок малости нижеследующих б.м функций относительно б.м функции , если :
а) ;	б) ;	в) .

Задания для самостоятельной работы дома

1. Найдите пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) .

2. Найдите пределы функций при :

а) ; б) .

3. Вычислите пределы с помощью первого замечательного предела:

а) ; б) ; в) .

4. Вычислите пределы с помощью второго замечательного предела:

а) ; б) ; в) .

5. Найдите односторонние пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

6. Выполните ИДЗ №1 по теме «Пределы функций»

Вычислить пределы функций путем алгебраических образований и применения замечательных пределов;

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. .

Для выполнения заданий коэффициенты выбираются из таблицы в соответствии с номером варианта.

ВАРИАНТ
1	4	-1	2	1	-3	2
2	9	-1	3	1	-4	3
3	16	-1	4	1	-5	4
4	25	-1	5	1	-6	5
5	4	1	2	-1	-1	-2
6	9	1	3	-1	-2	-3
7	16	1	4	-1	-3	-4
8	25	1	5	-1	-4	-5
9	4	-27	2	3	-5	6
10	64	-8	8	2	-10	16
11	16	-8	4	2	-6	8
12	25	-8	5	2	-7	10
13	9	8	3	-2	-1	-6
14	16	8	4	-2	-2	-8
15	25	8	5	-2	-3	-10
16	4	27	2	-3	1	-6
17	16	-27	4	3	-7	12
18	16	27	4	-3	-1	-12
19	25	-27	5	3	-8	15
20	25	27	5	-3	-2	-15
21	25	-64	5	4	-9	20
22	25	64	5	-4	-1	-20
23	4	1	-2	-1	3	2
24	9	8	-3	-2	5	6
25	16	27	-4	-3	7	12
26	25	64	-5	-4	9	20
27	9	64	-3	-4	7	12
28	9	125	-3	-5	8	15
29	4	64	-2	-4	6	8
30	4	125	-2	-5	7	10